সংখ্যার ধারার প্রশ্ন: দ্রুত সমাধানের উপায়

সাতটি প্যাটার্ন

1. একই পরিমাণ যোগ বা বিয়োগ। 4, 11, 18, 25, ... প্রতিবার 7 করে বাড়ছে, তাই পরের সংখ্যা 32।

2. একই পরিমাণ দিয়ে গুণ বা ভাগ। 3, 6, 12, 24, ... প্রতিবার দ্বিগুণ হচ্ছে, তাই 48। আর 400, 200, 100, ... অর্ধেক হচ্ছে, তাই 50।

3. ক্রমশ বাড়তে (বা কমতে) থাকা পার্থক্য। 2, 3, 5, 8, 12, ... যথাক্রমে 1, 2, 3, 4 যোগ হচ্ছে, তাই +5 করলে 17 হয়।

4. পালা করে বদলানো নিয়ম। 5, 10, 8, 16, 14, ... পালা করে x2 এবং -2 হচ্ছে, তাই পরের ধাপ x2: 28।

5. বর্গ ও ঘন। 1, 4, 9, 16, 25 হল 1 x 1 থেকে 5 x 5। 1, 8, 27, 64 হল ঘনসংখ্যা। "বর্গের সঙ্গে এক যোগ" করার নিয়মটিও লক্ষ করুন: 2, 5, 10, 17।

6. একাধিক ধাপের নিয়ম। 2, 5, 11, 23, ... নিয়মটি হল "দ্বিগুণ করে 1 যোগ", তাই পরের সংখ্যা 47।

7. পালা করে সাজানো দুটি ধারা। 1, 20, 3, 18, 5, 16, ... বিজোড় অবস্থানের সংখ্যাগুলি 2 করে বাড়ছে (1, 3, 5) এবং জোড় অবস্থানের সংখ্যাগুলি 2 করে কমছে (20, 18, 16), তাই পরের সংখ্যা 7।

কিছু পরীক্ষায় ফিবোনাচ্চি ধারাও থাকে, যেখানে প্রতিটি সংখ্যা তার আগের দুটি সংখ্যার যোগফল: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

একটি দ্রুত পদ্ধতি

1. পাশাপাশি সংখ্যাগুলির পার্থক্য নিচে লিখুন। বেশিরভাগ ধারার ধরন এখানেই বোঝা যায়: পার্থক্য ধ্রুবক (ধরন 1) অথবা পার্থক্যগুলির মধ্যেই একটি বিন্যাস রয়েছে (ধরন 3)।
2. পার্থক্য দ্রুত বাড়লে, তার বদলে অনুপাত পরীক্ষা করুন: প্রতিটি সংখ্যাকে তার আগের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন (ধরন 2 এবং 6)।
3. ধারাটি আঁকাবাঁকা হলে, বিজোড় ও জোড় অবস্থানগুলিকে আলাদা করুন (ধরন 7) অথবা পালা করে বদলানো গাণিতিক ক্রিয়া খুঁজুন (ধরন 4)।
4. কোনো কিছুই না মিললে, বর্গসংখ্যা, ঘনসংখ্যা বা Fibonacci আছে কি না দেখুন।
5. শুধু শেষের দুটি নয়, প্রতিটি সংখ্যার সঙ্গে আপনার নিয়মটি মিলিয়ে দেখুন। যে নিয়ম ধারার বেশিরভাগ সংখ্যার সঙ্গে মেলে, সেটিই সঠিক নিয়ম নয়।

অভ্যাস হয়ে গেলে এতে মাত্র কয়েক সেকেন্ড লাগে, আর উত্তর বিকল্প দেখে আন্দাজ করা থেকে আপনাকে বিরত রাখে।

সমাধানসহ উদাহরণ

7, 10, 16, 25, 37, ... পার্থক্য: 3, 6, 9, 12। প্রতি ধাপে 3 করে বাড়ছে, তাই পরের পার্থক্য হবে 15 এবং উত্তর 52।

3, 9, 27, 81, ... প্রতিটি সংখ্যা আগের সংখ্যার 3 গুণ, তাই উত্তর 243।

64, 32, 34, 17, 19, ... পালাক্রমে: অর্ধেক করুন, 2 যোগ করুন, অর্ধেক করুন, 2 যোগ করুন। পরের ধাপটি অর্ধেক করা: 9.5।

4, 9, 19, 39, ... 2 দিয়ে গুণ করে 1 যোগ করুন: 4 x 2 + 1 = 9, 9 x 2 + 1 = 19, 19 x 2 + 1 = 39, তাই উত্তর 79।

2, 12, 4, 10, 6, 8, ... দুটি ধারা: 2, 4, 6 (প্রতি ধাপে 2 করে বাড়ছে) এবং 12, 10, 8 (প্রতি ধাপে 2 করে কমছে)। পরের সংখ্যাটি প্রথম ধারার: 8।

চাকরির পরীক্ষায় সংখ্যার ধারার প্রশ্ন কেমন হয়

একই প্যাটার্ন বিভিন্ন ধরনের প্রশ্নে দেখা যায়। প্রশ্নের ধরন আগে থেকে জানা থাকলে সময়ের চাপে নির্দেশনা দুবার পড়তে হয় না।

পরের সংখ্যা। সবচেয়ে প্রচলিত ধরন: চার থেকে ছয়টি সংখ্যা এবং চার বা পাঁচটি উত্তরের মধ্যে একটি বেছে নিতে হয়।

মাঝখানের অনুপস্থিত সংখ্যা। 4, 8, ?, 32, 64। ফাঁকা জায়গাটিকে দুই ধাপ হিসেবে দেখুন। এখানে প্রতিটি সংখ্যা দ্বিগুণ হচ্ছে, তাই ফাঁকা সংখ্যাটি 16। দুদিক মিলিয়ে দেখুন: 8 x 2 = 16 এবং 16 x 2 = 32।

বেমানানটি খুঁজুন। "কোন সংখ্যাটি এই দলের নয়?" 3, 6, 12, 25, 48। ধারাটিতে সংখ্যা দ্বিগুণ হচ্ছে, তাই 25-এর জায়গায় 24 হওয়া উচিত। এ ধরনের প্রশ্নে প্রতিটি পদ যাচাই করলে সুবিধা হয় - দ্রুত পদ্ধতির ধাপ 5-এ এই অভ্যাসটির কথা বলা হয়েছে।

অক্ষরের ধারা। A, C, F, J, ... অক্ষর দিয়ে একই যুক্তি ব্যবহার করে। বর্ণমালায় অক্ষরগুলির অবস্থানকে সংখ্যায় প্রকাশ করুন (A = 1, C = 3, F = 6, J = 10)। ব্যবধানগুলি 2, 3, 4, তাই পরের ব্যবধান 5 এবং উত্তর হল 15তম অবস্থানের অক্ষর O।

বিস্তৃত পরীক্ষার মধ্যে প্যাটার্নের প্রশ্ন। দ্রুতগতির সাধারণ জ্ঞানীয় পরীক্ষায় শব্দ, গণিত ও যুক্তির প্রশ্নের সঙ্গে ধারার প্রশ্নও থাকে। উদাহরণস্বরূপ, Wonderlic তাদের 50-প্রশ্নের, 12-মিনিটের জ্ঞানীয় পরীক্ষায় প্রশ্নের ধরনগুলির মধ্যে "প্যাটার্ন শনাক্তকরণ" উল্লেখ করে (Wonderlic)। Criteria, CCAT-তে "গণিত ও যুক্তি" ধরনের প্রশ্নের কথা বলে (Criteria)।

যে কঠিন ধরনের প্রশ্নের মুখোমুখি হতে পারেন

সাতটি সাধারণ ধরন কোনওটির সঙ্গে না মিললে, সাধারণত এই ধরনগুলির কোনও একটি মেলে।

যে পার্থক্যগুলি গুণিত হয়। 2, 3, 5, 9, 17, ... পার্থক্যগুলি হল 1, 2, 4, 8, যা প্রতিবার দ্বিগুণ হচ্ছে। পরের পার্থক্য 16, তাই উত্তর 33। (এটিকে "দ্বিগুণ, তারপর 1 বিয়োগ" হিসেবেও দেখা যায়: 17 x 2 - 1 = 33। একই উত্তরে পৌঁছনোর দুটি উপায় থাকা ভালো লক্ষণ।)

ক্রমশ বড় সংখ্যা দিয়ে গুণ। 1, 2, 6, 24, 120, ...-এ প্রতিবার যথাক্রমে 2, 3, 4, তারপর 5 দিয়ে গুণ করা হয়েছে। পরের ধাপে x6 হবে, ফলে 720 পাওয়া যাবে।

দ্বিতীয় স্তরের পার্থক্য। 1, 2, 6, 15, 31, ... পার্থক্যগুলি হল 1, 4, 9, 16, যেগুলি বর্গসংখ্যা। পরের বর্গসংখ্যা 25, তাই উত্তর 31 + 25 = 56।

মৌলিক সংখ্যা। 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... হল মৌলিক সংখ্যা (যে সংখ্যাগুলি শুধু 1 এবং নিজেদের দিয়ে বিভাজ্য)। পরেরটি 17। 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলি মনে রাখুন: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29।

পর্যায়ক্রমে চিহ্ন বদল। 3, -6, 12, -24, ...-এ প্রতিবার -2 দিয়ে গুণ করা হয়েছে, তাই পরেরটি 48।

ভগ্নাংশ। 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...-এ লব ও হর দুটিই 1 করে বাড়ছে, তাই পরেরটি 5/6। লব ও হরকে দুটি আলাদা ধারার মতো দেখুন।

পরীক্ষা প্রণেতারা যে ফাঁদগুলি পাতেন

ভুল উত্তরের বিকল্পগুলি সাধারণত এলোমেলো হয় না। প্রতিটি বিকল্পই প্রায়ই কোনও পরিচিত ভুলের ফল। তাই ভুলগুলি জানা থাকলে বিভ্রান্তিকর বিকল্প চিনতে সুবিধা হয়।

• মেলে এমন প্রথম নিয়মটিতেই থেমে যাওয়া। 2, 4, 8, 14, ... ধারায় প্রথম তিনটি সংখ্যার ক্ষেত্রে দ্বিগুণ করার নিয়ম মেলে, তাই 28-কে আকর্ষণীয় মনে হতে পারে। কিন্তু 14 এই নিয়মের সঙ্গে মেলে না। পার্থক্যগুলি 2, 4, 6, তাই পরের পার্থক্য হবে +8: উত্তর 22।
• ভুল ধারাটি ধরে নেওয়া। পালাক্রমে চলা ধারায় ফাঁকা জায়গাটি কত নম্বর অবস্থানে আছে, তা গুনুন। 3, 30, 6, 27, 9, 24, ... ধারায় পরের সংখ্যাটি 7ম পদ। এটি বিজোড় অবস্থানের সংখ্যাগুলির (3, 6, 9) অংশ, তাই উত্তর 21 নয়, 12।
• হিসাবে ছোটখাটো ভুল। পার্থক্যগুলি বড় হলে কাগজে বা মনে মনে দুবার যোগ করুন। ঠিক 1 বা 10-এর ব্যবধানে ভুল থাকা কোনও বিকল্প প্রায়ই এই কারণে দেওয়া হয়।
• দিক গুলিয়ে ফেলা। 96, 48, 24, ...-এর মতো ক্রমহ্রাসমান ধারায় ভাগ করার বদলে গুণ করে ফেলা সহজ। উত্তর 12, আর 48 বা 96 সম্ভাব্য বিকল্প।
• মাঝের সংখ্যা খোঁজার প্রশ্নকে পরের সংখ্যা খোঁজার প্রশ্ন ভেবে নেওয়া। শুরু করার আগে প্রশ্নবোধক চিহ্নটি কোথায় আছে দেখে নিন।

উত্তর বিকল্পগুলি ব্যবহার করে

উত্তরের বিকল্পগুলো তথ্য দেয়। সেগুলো কাজে লাগান, তবে আগে নিজে নিয়মটি খুঁজে দেখুন।

আগে আনুমানিক হিসাব করুন। কোনো ধারার পদগুলো গুণ করে বাড়লে, উত্তরটি শেষ পদের চেয়ে অনেক বড় হওয়ার কথা। দুটি বিকল্প যদি শেষ পদের কাছাকাছি হয় আর দুটি অনেক বড় হয়, তাহলে প্রায়ই সঙ্গে সঙ্গে অর্ধেক বিকল্প বাদ দিতে পারবেন।

বিজোড় ও জোড় যাচাই করুন। ধারার প্রতিটি পদ বিজোড় হলে এবং নিয়মে একটি জোড় সংখ্যা যোগ করা হলে, উত্তরটিও বিজোড় হতে হবে।

বিকল্পটি উল্টো দিক থেকে যাচাই করুন। দুটি উত্তরের মধ্যে আটকে গেলে, প্রতিটিকে ধারার শেষে বসিয়ে নতুন পার্থক্যগুলো দেখুন। সঠিক উত্তরটি ধারার বিন্যাস ঠিক রাখে; ভুল উত্তরটি তা ভেঙে দেয়।

শুধু বিকল্প দেখে নিয়ম বের করার চেষ্টা করবেন না। যে বিকল্পটি “দেখতে ঠিক মনে হয়” সেটি বেছে নেওয়াই ফাঁদ-উত্তরগুলোর কাজ। প্রথম কয়েক সেকেন্ড পার্থক্যগুলো খুঁজতে ব্যয় করুন।

সময়ের চাপে সংখ্যা-ধারার প্রশ্নে গতি বজায় রাখা

দ্রুতগতির কগনিটিভ টেস্টে প্রতি প্রশ্নের জন্য সময় কম থাকে। Wonderlic-এর কগনিটিভ টেস্টে 12 মিনিটে 50টি প্রশ্ন থাকে (Wonderlic), অর্থাৎ প্রতিটি প্রশ্নের জন্য প্রায় 14 সেকেন্ড। CCAT-তে 15 মিনিটে 50টি প্রশ্ন থাকে (Criteria), অর্থাৎ প্রতিটি প্রশ্নের জন্য প্রায় 18 সেকেন্ড। প্রকাশকদের তথ্য অনুযায়ী, কোনও পরীক্ষাতেই ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা যায় না (Wonderlic FAQ, Criteria).

এই গতিতে, যোগ বা গুণের একটি সহজ সিরিজ সমাধান করতে 15 সেকেন্ডেরও কম সময় লাগা উচিত। দুই ধাপের বা পর্যায়ক্রমে বদলানো সিরিজে 25 সেকেন্ড লাগতে পারে। প্রায় 30 সেকেন্ডের মধ্যে নিয়মটি খুঁজে না পেলে, সবচেয়ে সম্ভাব্য উত্তরটি বেছে নিয়ে এগিয়ে যান। Criteria জানায়, CCAT-তে ভুল উত্তরের জন্য কোনও নম্বর কাটা হয় না, তাই সেখানে তথ্যভিত্তিক অনুমান করলে কোনও ক্ষতি নেই। Wonderlic পরীক্ষার্থীদের পরামর্শ দেয়, কোনও একটি প্রশ্নে যেন খুব বেশি সময় না দেন এবং পরে ফিরে আসার আশায় প্রশ্ন এড়িয়ে এদিক-ওদিক না যান।

যেসব সংখ্যাগত বা লজিক্যাল রিজনিং পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কম, কিন্তু প্রশ্নগুলো দীর্ঘ, সেগুলোতে আপনার হাতে বেশি সময় থাকে। তাই উত্তর দেওয়ার আগে প্রতিটি পদ যাচাই করুন।

সংখ্যার ধারা কীভাবে অনুশীলন করবেন

প্রতিদিন অল্প করে অনুশীলন করলে একবারে দীর্ঘ সময় অনুশীলনের চেয়ে ভালো ফল হয়। চার বা পাঁচ দিন ধরে প্রতিদিন দশটি করে সিরিজ অনুশীলন করলে প্রয়োজনীয় প্যাটার্ন চেনার দক্ষতা তৈরি হয়।

পার্থক্যগুলি সব সময় লিখে রাখুন। উত্তর দেখতে পাচ্ছেন বলে মনে হলেও, পার্থক্যের সারি লিখলে চাপের মুখে কাজে লাগবে এমন অভ্যাস তৈরি হয়।

সময় ধরে অনুশীলন করুন। প্যাটার্ন শেখার জন্য প্রথমে সময়ের সীমা ছাড়া শুরু করুন, তারপর প্রতি সিরিজের জন্য 20 সেকেন্ড এবং এরপর 15 সেকেন্ডের সীমা রাখুন।

প্রতিটি ভুল পর্যালোচনা করুন। কোন প্যাটার্নে ভুল হয়েছে তা লিখে রাখুন। বেশিরভাগ মানুষ দেখেন, একটি বা দুটি প্যাটার্নে (সাধারণত পর্যায়ক্রমিক এবং দ্বিতীয় স্তরের পার্থক্যে) তাঁদের বেশিরভাগ ভুল হয়।

মনে মনে হিসাব করার দক্ষতা ঝালিয়ে নিন। বেশিরভাগ দক্ষতা পরীক্ষায় সিরিজের প্রশ্নের পাশেই শতাংশ, অনুপাত এবং হার-সংক্রান্ত প্রশ্ন থাকে। সেগুলির জন্য আমাদের শতাংশের প্রশ্ন, অনুপাতের প্রশ্ন এবং গতি, দূরত্ব ও সময় নির্দেশিকাগুলি দেখুন। পাশাপাশি প্রায়ই আসা যুক্তির প্রশ্নগুলির জন্য রয়েছে সিলোজিজম নির্দেশিকা।