অনুপাতের অঙ্ক: পদ্ধতি ও সমাধানসহ উদাহরণ

অনুপাত থেকে কী জানা যায়

দুটি দলের মধ্যে 3:2 অনুপাতের অর্থ, প্রথম দলে প্রতি 3 জনের জন্য দ্বিতীয় দলে 2 জন আছেন। মোট অংশ 3 + 2 = 5 parts।

এই অংশগুলি থেকে তিন ধরনের তথ্য পাওয়া যায়। পরীক্ষায় খেয়াল রাখা হয় যেন আপনি এগুলিকে গুলিয়ে না ফেলেন:

• মোটের অংশ হিসেবে প্রতিটি দল: প্রথম দলটি মোটের 3/5 (60%) এবং দ্বিতীয় দলটি 2/5 (40%)।
• একটি দলের সঙ্গে অন্যটির তুলনা: প্রথম দলটি দ্বিতীয় দলের 3/2 = 1.5 গুণ বড়।
• পার্থক্য: প্রথম দলটি দ্বিতীয় দলের চেয়ে 1 অংশ বড়।

যে ভুলটি হতে পারে: 3:2-কে "প্রথম দলটি মোটের 3/2" বা "প্রথম দলটি দ্বিতীয় দলের 3/5" হিসেবে পড়া। হিসাব করার আগে, প্রশ্নে কোন তুলনা চাওয়া হয়েছে তা কথায় বলুন: অংশের সঙ্গে অংশ, নাকি অংশের সঙ্গে মোট।

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। "ম্যানেজার ও কর্মীদের অনুপাত 1:6"-এ ম্যানেজারদের আগে রাখা হয়েছে। ক্রম অদলবদল করলে পরের প্রতিটি উত্তর ভুল হবে, আর অদলবদল করা উত্তরটি সাধারণত বিকল্পগুলির মধ্যে থাকে।

অনুপাত অনুযায়ী একটি পরিমাণ ভাগ করা

চাকরির পরীক্ষায় অনুপাতের এই ধরনের প্রশ্ন সবচেয়ে বেশি দেখা যায়। প্রতিবার এই তিনটি ধাপ অনুসরণ করুন:

1. অনুপাতের অংশগুলি যোগ করুন।
2. একটি অংশের মান বের করতে মোট পরিমাণকে অংশের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করুন।
3. প্রতিটি দলের অংশসংখ্যা দিয়ে গুণ করুন।

সমাধান-সহ উদাহরণ: $4,800 বোনাসের অর্থ 5:3 অনুপাতে দুটি দলের মধ্যে ভাগ করা হবে। প্রতিটি দল কত পাবে?

1. 5 + 3 = 8টি অংশ।
2. $4,800 / 8 = প্রতি অংশে $600।
3. প্রথম দল: 5 x $600 = $3,000। দ্বিতীয় দল: 3 x $600 = $1,800।

যাচাই করুন: $3,000 + $1,800 = $4,800। ভাগের অঙ্কগুলি যোগ করে মোটের সঙ্গে মিলিয়ে নিন। এতে মাত্র দুই সেকেন্ড লাগে এবং বেশিরভাগ ভুল ধরা পড়ে।

তিন ভাগে ভাগ করলেও একই পদ্ধতি। একটি প্রকল্পের 360 ঘণ্টা সময় নকশা, নির্মাণ ও পরীক্ষার কাজে 2:3:7 অনুপাতে ভাগ করা হয়েছে। মোট অংশ 12টি, তাই প্রতি অংশ 360 / 12 = 30 ঘণ্টা। নকশার জন্য 60, নির্মাণের জন্য 90 এবং পরীক্ষার জন্য 210 ঘণ্টা। যাচাই: 60 + 90 + 210 = 360।

যখন মোট পরিমাণ নয়, একটি অংশ জানা থাকে

অনেক অনুপাতের অঙ্কে একটি দলের সদস্যসংখ্যা অথবা দুটি দলের সদস্যসংখ্যার পার্থক্য দেওয়া থাকে, আর অন্য কিছু জানতে চাওয়া হয়। “এক অংশের মান” বের করার পদ্ধতিটি এখানেও কাজ করে; শুধু অন্য একটি সংখ্যা থেকে অংশের মান বের করতে হয়।

একটি দলের সদস্যসংখ্যা থেকে: একটি কর্মস্থলে সুপারভাইজার ও অপারেটরের অনুপাত 2:9, আর সেখানে 54 জন অপারেটর আছেন। সুপারভাইজার কত জন?

• 9 অংশ = 54, তাই 1 অংশ = 6।
• সুপারভাইজার = 2 x 6 = 12। পুরো কর্মস্থলে 11 অংশ = 66 জন।

পার্থক্য থেকে: দুই অংশীদার 7:4 অনুপাতে মুনাফা ভাগ করেন, এবং প্রথম জন দ্বিতীয় জনের চেয়ে $45,000 বেশি পান। তাঁরা মোট কত ভাগ করে নেন?

• পার্থক্য 7 - 4 = 3 অংশ, তাই 3 অংশ = $45,000 এবং 1 অংশ = $15,000।
• মোট 11 অংশ = $165,000। ভাগের অঙ্ক দুটি $105,000 ও $60,000; তাদের পার্থক্য $45,000, যা উত্তরটি সঠিক বলে নিশ্চিত করে।

যে ভুলটি এড়াবেন: জানা দলের সদস্যসংখ্যাকে মোট অংশ দিয়ে ভাগ করা। কর্মস্থলের উদাহরণে, 54 / 11 এক অংশের মান নয়; 54 হল শুধু অপারেটরদের 9 অংশের মান।

অনুপাত সরল করা ও বড়-ছোট করা

সরল করুন সব সংখ্যাকে এমন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে, যা সেগুলিকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে। 45:60-কে 15 দিয়ে ভাগ করলে হয় 3:4। 84:126-কে 42 দিয়ে ভাগ করলে হয় 2:3। বৃহত্তম গুণনীয়কটি খুঁজে না পেলে, ছোট সংখ্যা দিয়ে একে একে ভাগ করুন: 84:126-কে অর্ধেক করলে 42:63, 3 দিয়ে ভাগ করলে 14:21, এবং 7 দিয়ে ভাগ করলে 2:3।

অনুপাতে দশমিক ও ভগ্নাংশ: প্রতিটি পদকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন, যতক্ষণ না পূর্ণসংখ্যা হয়। 1.5:2-কে 2 দিয়ে গুণ করলে হয় 3:4। 1/2:1/3-কে 6 দিয়ে গুণ করলে হয় 3:2।

অনুপাত বাড়ানো বা কমানো: একটি পরিষ্কারের দ্রবণে ঘন দ্রবণ ও জল 1:4 অনুপাতে মেশানো হয়।

• নির্দিষ্ট মোট পরিমাণের জন্য: 2.5 লিটার দ্রবণ হল 5 অংশ, তাই 1 অংশ হল 0.5 লিটার: 0.5 লিটার ঘন দ্রবণ এবং 2 লিটার জল।
• একটি উপাদানের পরিমাণ থেকে: 3 লিটার ঘন দ্রবণের জন্য 3 x 4 = 12 লিটার জল লাগবে, ফলে মোট 15 লিটার মিশ্রণ হবে।

অনুপাত বাড়ানো বা কমানোর সময় যে ভুলটি হয়: উভয় পক্ষে একই পরিমাণ যোগ করা। "প্রতিটিতে এক যোগ করে" 1:4 থেকে 2:5 করলে মিশ্রণের অনুপাত বদলে যায়। অনুপাত বাড়াতে বা কমাতে গুণ করতে হয়, কখনও যোগ নয়।

অনুপাত একত্র করা ও অনুপাত পরিবর্তন করা

একটি পদ সাধারণ এমন দুটি অনুপাত মিলিয়ে নেওয়া। আপনাকে বলা হয়েছে A:B = 2:3 এবং B:C = 4:5, এবং A:B:C নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। B-এর দুটি মান (3 এবং 4) এক নয়, তাই B-এর মান সমান না হওয়া পর্যন্ত দুই অনুপাতকে একই গুণক দিয়ে বাড়ান।

1. B-এর একটি সাধারণ মান খুঁজুন। 3 ও 4 যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যায় নিঃশেষে ভাগ যায়, তা হল 12।
2. A:B-কে 4 দিয়ে গুণ করে 8:12 করুন, এবং B:C-কে 3 দিয়ে গুণ করে 12:15 করুন।
3. পাশাপাশি পড়ুন: A:B:C = 8:12:15, তাই A:C = 8:15।

B-এর মান সমান না করেই অনুপাত জুড়ে দিলে ফাঁদে পড়বেন; তখন উত্তর হবে 2:3:5 বা 2:4:5।

অনুপাত বদলানো। একটি বাক্সে লাল ও নীল মিলিয়ে 40টি জিনিস আছে, অনুপাত 3:5। অর্থাৎ, 15টি লাল ও 25টি নীল। 5টি লাল জিনিস যোগ করলে নতুন অনুপাত হবে 20:25, যা সরল করলে 4:5 হয়। পদ্ধতি সবসময় একই: প্রথমে অনুপাতকে আসল সংখ্যায় রূপান্তর করুন, সংখ্যাগুলিতে পরিবর্তনটি প্রয়োগ করুন, তারপর আবার অনুপাতে রূপান্তর করুন। অনুপাতে সরাসরি জিনিস যোগ করা যায় না।

উল্টো দিক থেকে হিসাব: অনুপাত 1:1 করতে কতগুলি লাল জিনিস যোগ করতে হবে? নীলের সংখ্যা 25-ই থাকবে, তাই লালও 25 হতে হবে: 10টি যোগ করুন।

অনুপাত, ভগ্নাংশ ও শতকরা

সংখ্যাগত যুক্তির প্রশ্নে প্রায়ই একই প্রশ্নের মধ্যে এই তিনটি রূপের অদলবদল হয়। রূপান্তরগুলি:

• অনুপাত থেকে মোটের ভগ্নাংশ: 3:5 মানে প্রথম দলটি মোটের 3/(3 + 5) = 3/8 অংশ।
• ভগ্নাংশ থেকে শতকরা: 3/8 = 0.375 = 37.5%।
• শতকরা থেকে অনুপাত: আবেদনকারীদের 35% যদি প্রতিষ্ঠানের অভ্যন্তরীণ প্রার্থী হন, তাহলে বাকিরা (65%) বাইরের প্রার্থী। তাই অভ্যন্তরীণ ও বাইরের প্রার্থীর অনুপাত 35:65 = 7:13।

যে ভুলটি হতে পারে: অনুপাতের সংখ্যাগুলিকে সরাসরি ভগ্নাংশ হিসেবে ধরে নেওয়া। কোনো দলে নারী ও পুরুষের অনুপাত 3:5 হলে, নারীরা দলের 37.5%, 3/5 = 60% নন। পরীক্ষার প্রশ্নে 60% রাখা হয়, কারণ ‘অংশগুলি যোগ করার’ ধাপটি বাদ দিলে এই উত্তরই পাওয়া যায়।

শতকরা পরিবর্তন ও বিপরীত শতকরা হিসাবসহ এই রূপান্তরগুলির শতকরার দিকটি জানতে আমাদের শতকরার প্রশ্নের নির্দেশিকা দেখুন।

সারণি থেকে অনুপাত ও হার

সমানুপাত: একটি রাশি দ্বিগুণ হলে অন্যটিও দ্বিগুণ হয়। 10 মিনিটে 4টি প্রিন্টার 600 পৃষ্ঠা ছাপে, তাই 1টি প্রিন্টার 150 পৃষ্ঠা এবং 6টি প্রিন্টার একই সময়ে 6 x 150 = 900 পৃষ্ঠা ছাপে। প্রথমে একটির হার বের করুন, তারপর গুণ করুন।

ব্যস্তানুপাত: একটি রাশি বাড়লে অন্যটি কমে। 6 জন কর্মী 8 দিনে একটি কাজ শেষ করলে, কাজটির পরিমাণ 6 x 8 = 48 কর্মী-দিন। 4 জন কর্মী থাকলে সময় লাগবে 48 / 4 = 12 দিন। ভুল দিকে অনুপাত করাই এখানে ফাঁদ: কর্মী কম হলে দিনের সংখ্যা কম হতে পারে না।

টেবিল থেকে হার বের করা। সংখ্যাভিত্তিক যুক্তির অনেক প্রশ্নে তথ্যের টেবিলের মধ্যে অনুপাত লুকানো থাকে। যেমন, একটি টেবিলে তিনটি দলের তথ্য আছে:

• Team A: 12 জন কর্মী, 2 জন ম্যানেজার
• Team B: 20 জন কর্মী, 4 জন ম্যানেজার
• Team C: 21 জন কর্মী, 3 জন ম্যানেজার

"প্রতি ম্যানেজারের বিপরীতে কোন দলে কর্মীর সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?" প্রতিটির একক হার বের করুন: A-এর 6:1, B-এর 5:1 এবং C-এর 7:1, তাই Team C। কর্মীর মোট সংখ্যা সরাসরি তুলনা করলে Team B মনে হতে পারে - এটাই ফাঁদ।

গতিও একটি হার, তাই একইভাবে সময়ের সঙ্গে দূরত্বের হিসাব করা যায়। আমাদের গতি, দূরত্ব ও সময়ের নির্দেশিকা-তে এই বিষয়টি পুরোপুরি আলোচনা করা হয়েছে।

সময়ের চাপের মধ্যে অনুপাতের প্রশ্ন সমাধানের একটি দ্রুত পদ্ধতি

1. অংশগুলোর নাম লিখে নিন। "S 2 : O 9"-এর মতো করে অনুপাতের সঙ্গে নাম লিখুন, যাতে ক্রম উল্টে না যায়।
2. যা জানা আছে তা চিহ্নিত করুন: মোট পরিমাণ, একটি দলের পরিমাণ, অথবা পার্থক্য। এর ওপর নির্ভর করে আপনি কী দিয়ে ভাগ করবেন: সব অংশের যোগফল, একটি দলের অংশের সংখ্যা, নাকি অংশের সংখ্যার পার্থক্য।
3. একটি অংশের মান বের করে গুণ করুন। প্রায় সব অনুপাতের প্রশ্নই এই দুই ধাপে সমাধান করা যায়।
4. বিকল্পগুলো কাজে লাগান। 5:3 অনুপাতে ভাগ করলে বড় অংশটি অবশ্যই 5 অংশের গুণিতক হবে এবং মোট সংখ্যাটি 8 দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে। হিসাব শুরু করার আগেই এই শর্ত না মেলা বিকল্পগুলো বাদ দিতে পারেন।
5. আবার যোগ করে যাচাই করুন। ভাগগুলো যোগ করলে মোট পরিমাণ হওয়া উচিত; অংশের সংখ্যার পার্থক্যটি প্রশ্নে দেওয়া পার্থক্যের সঙ্গে মেলা উচিত।

একই তথ্যসেটে অনুপাতের সঙ্গে শতকরা এবং গড়ও প্রায়ই থাকে। সময় বেঁধে দেওয়া সংখ্যাভিত্তিক পরীক্ষার প্রস্তুতি নিলে, এই তিন ধরনের হিসাবের মধ্যে বারবার অনুশীলন করুন, যতক্ষণ না তা সহজ ও স্বাভাবিক লাগে।