Bài tập về tỷ lệ: phương pháp và ví dụ có lời giải

Tỷ lệ cho bạn biết điều gì

Tỷ lệ 3:2 giữa hai đội có nghĩa là cứ 3 người ở đội thứ nhất thì có 2 người ở đội thứ hai. Tổng số phần là 3 + 2 = 5 phần.

Từ các phần này, bạn có thể hiểu theo ba cách khác nhau. Bài kiểm tra sẽ xem bạn có phân biệt được chúng hay không:

• Mỗi nhóm chiếm bao nhiêu trong tổng thể: đội thứ nhất chiếm 3/5 tổng số (60%), còn đội thứ hai chiếm 2/5 (40%).
• So sánh nhóm này với nhóm kia: đội thứ nhất có quy mô bằng 3/2 = 1.5 lần đội thứ hai.
• Mức chênh lệch: đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai 1 phần.

Điểm dễ nhầm: hiểu 3:2 thành "nhóm thứ nhất chiếm 3/2 tổng số" hoặc "nhóm thứ nhất bằng 3/5 nhóm thứ hai". Trước khi tính, hãy diễn đạt bằng lời câu hỏi yêu cầu so sánh phần với phần hay phần với tổng thể.

Thứ tự rất quan trọng. Câu "Tỷ lệ giữa quản lý và nhân viên là 1:6" đặt quản lý ở trước. Nếu đổi thứ tự, mọi đáp án tiếp theo đều sai, và đáp án bị đảo thứ tự thường cũng xuất hiện trong các lựa chọn.

Chia một khoản theo tỷ lệ

Đây là dạng câu hỏi về tỷ lệ phổ biến nhất trong bài kiểm tra tuyển dụng. Mỗi lần hãy làm theo ba bước:

1. Cộng các phần của tỷ lệ.
2. Chia tổng cho số phần để tìm giá trị của một phần.
3. Nhân với số phần của mỗi nhóm.

Ví dụ có lời giải: khoản thưởng $4,800 được chia cho hai nhóm theo tỷ lệ 5:3. Mỗi nhóm nhận được bao nhiêu?

1. 5 + 3 = 8 phần.
2. $4,800 / 8 = $600 cho mỗi phần.
3. Nhóm thứ nhất: 5 x $600 = $3,000. Nhóm thứ hai: 3 x $600 = $1,800.

Kiểm tra: $3,000 + $1,800 = $4,800. Luôn cộng lại các phần đã chia để kiểm tra; chỉ mất hai giây và giúp phát hiện hầu hết lỗi tính toán.

Chia cho ba nhóm cũng làm tương tự. 360 giờ làm dự án được chia cho các khâu thiết kế, xây dựng và kiểm thử theo tỷ lệ 2:3:7. Tổng cộng có 12 phần, nên mỗi phần là 360 / 12 = 30 giờ. Thiết kế nhận 60 giờ, xây dựng 90 giờ và kiểm thử 210 giờ. Kiểm tra: 60 + 90 + 210 = 360.

Khi biết một phần nhưng chưa biết tổng

Nhiều bài toán về tỷ lệ cho biết quy mô của một nhóm hoặc mức chênh lệch giữa hai nhóm, rồi yêu cầu bạn tìm một đại lượng khác. Cách tìm "giá trị của một phần" vẫn áp dụng được; bạn chỉ cần tính số phần từ một con số khác.

Biết quy mô của một nhóm: tỷ lệ giữa số quản lý và nhân viên vận hành tại một cơ sở là 2:9, và có 54 nhân viên vận hành. Có bao nhiêu quản lý?

• 9 phần = 54, vậy 1 phần = 6.
• Số quản lý = 2 x 6 = 12. Toàn bộ cơ sở có 11 phần = 66 người.

Biết mức chênh lệch: hai đối tác chia lợi nhuận theo tỷ lệ 7:4, người thứ nhất nhận nhiều hơn người thứ hai $45,000. Tổng số tiền họ chia là bao nhiêu?

• Mức chênh lệch là 7 - 4 = 3 phần, vậy 3 phần = $45,000 và 1 phần = $15,000.
• Tổng cộng là 11 phần = $165,000. Hai phần chia lần lượt là $105,000 và $60,000; chênh lệch giữa chúng là $45,000, xác nhận đáp án.

Lỗi thường gặp: lấy số của một nhóm đã biết chia cho tổng số phần. Trong ví dụ về cơ sở, 54 / 11 không phải là giá trị của một phần; 54 chỉ tương ứng với 9 phần của nhân viên vận hành.

Rút gọn và nhân tỷ số

Rút gọn bằng cách chia từng số cho số lớn nhất có thể chia hết tất cả các số đó. 45:60 chia cho 15 được 3:4. 84:126 chia cho 42 được 2:3. Nếu không nhìn ra ước số lớn nhất, hãy lần lượt chia cho các số nhỏ hơn: 84:126, chia đôi thành 42:63, chia cho 3 được 14:21, chia cho 7 được 2:3.

Số thập phân và phân số trong tỷ lệ: nhân mọi số hạng với cùng một số cho đến khi tất cả đều là số nguyên. 1.5:2 thành 3:4 (nhân với 2). 1/2:1/3 thành 3:2 (nhân với 6).

Tăng hoặc giảm theo tỷ lệ: một dung dịch vệ sinh được pha theo tỷ lệ 1:4, dung dịch cô đặc với nước.

• Khi cần tổng lượng cố định: 2.5 lít dung dịch gồm 5 phần, vậy 1 phần là 0.5 lít: 0.5 lít dung dịch cô đặc và 2 lít nước.
• Khi biết lượng một thành phần: 3 lít dung dịch cô đặc cần 3 x 4 = 12 lít nước, tổng cộng được 15 lít.

Sai lầm khi điều chỉnh tỷ lệ: cộng cùng một lượng vào hai vế. Chuyển từ 1:4 thành 2:5 bằng cách "cộng 1 vào mỗi vế" sẽ làm thay đổi hỗn hợp. Hãy điều chỉnh tỷ lệ bằng phép nhân, không bao giờ bằng phép cộng.

Kết hợp và thay đổi tỷ lệ

Kết hợp hai tỷ lệ có chung một thành phần. Bạn được cho biết A:B = 2:3 và B:C = 4:5, rồi được yêu cầu tìm A:B:C. Hai giá trị của B (3 và 4) không bằng nhau, nên hãy nhân cả hai tỷ lệ với một số để giá trị B bằng nhau.

1. Tìm một giá trị chung cho B. Số nhỏ nhất chia hết cho cả 3 và 4 là 12.
2. Nhân A:B với 4 để được 8:12, và nhân B:C với 3 để được 12:15.
3. Ghép các tỷ lệ lại: A:B:C = 8:12:15, vậy A:C = 8:15.

Đáp án gây nhầm lẫn là ghép các tỷ lệ mà không làm cho B bằng nhau, dẫn đến 2:3:5 hoặc 2:4:5.

Thay đổi tỷ lệ. Một hộp có 40 món đồ màu đỏ và xanh dương, với tỷ lệ 3:5. Như vậy có 15 món màu đỏ và 25 món màu xanh dương. Nếu thêm 5 món màu đỏ, tỷ lệ mới là 20:25, rút gọn thành 4:5. Cách làm luôn giống nhau: trước tiên đổi tỷ lệ thành số lượng thực tế, áp dụng thay đổi cho số lượng, rồi chuyển lại thành tỷ lệ. Bạn không thể cộng trực tiếp số món vào một tỷ lệ.

Tính ngược: cần thêm bao nhiêu món màu đỏ để tỷ lệ thành 1:1? Số món màu xanh dương vẫn là 25, nên số món màu đỏ phải tăng lên 25: thêm 10 món.

Tỷ lệ, phân số và phần trăm

Câu hỏi tư duy số thường chuyển đổi giữa ba dạng này ngay trong cùng một câu. Cách chuyển đổi:

• Từ tỷ lệ sang phân số của tổng: 3:5 có nghĩa là nhóm thứ nhất chiếm 3/(3 + 5) = 3/8 tổng số.
• Từ phân số sang phần trăm: 3/8 = 0.375 = 37.5%.
• Từ phần trăm sang tỷ lệ: nếu 35% ứng viên là nhân viên nội bộ thì số còn lại (65%) là người bên ngoài, vậy tỷ lệ nhân viên nội bộ so với người bên ngoài là 35:65 = 7:13.

Điểm dễ nhầm: xem các số trong tỷ lệ như một phân số. Trong một nhóm có tỷ lệ nữ so với nam là 3:5, nữ chiếm 37.5% cả nhóm, chứ không phải 3/5 = 60%. Người ra đề đưa ra đáp án 60% vì đó là kết quả nếu bạn bỏ qua bước “cộng các phần”.

Để tìm hiểu thêm về phần trăm trong các phép chuyển đổi này, bao gồm mức thay đổi phần trăm và cách tính ngược phần trăm, hãy xem hướng dẫn câu hỏi về phần trăm.

Tỷ lệ và tốc độ dựa trên bảng

Tỷ lệ thuận: khi một đại lượng tăng gấp đôi, đại lượng kia cũng tăng gấp đôi. 4 máy in in được 600 trang trong 10 phút, vậy 1 máy in in được 150 trang và 6 máy in in được 6 x 150 = 900 trang trong cùng khoảng thời gian. Tìm năng suất của một máy trước, rồi nhân lên.

Tỷ lệ nghịch: khi một đại lượng tăng thì đại lượng kia giảm. 6 công nhân hoàn thành một công việc trong 8 ngày, vậy công việc đó cần 6 x 8 = 48 công-ngày. Với 4 công nhân, công việc mất 48 / 4 = 12 ngày. Sai lầm thường gặp là tính ngược chiều: ít công nhân hơn không thể đồng nghĩa với ít ngày hơn.

Tính tỷ lệ từ bảng. Nhiều câu hỏi suy luận số học ẩn một tỷ lệ trong bảng dữ liệu. Ví dụ, một bảng liệt kê ba nhóm:

• Nhóm A: 12 nhân viên, 2 quản lý
• Nhóm B: 20 nhân viên, 4 quản lý
• Nhóm C: 21 nhân viên, 3 quản lý

"Nhóm nào có nhiều nhân viên nhất trên mỗi quản lý?" Tính tỷ lệ đơn vị cho từng nhóm: A là 6:1, B là 5:1 và C là 7:1, vậy đáp án là Nhóm C. So sánh trực tiếp số nhân viên sẽ khiến bạn chọn Nhóm B, đây chính là bẫy.

Tốc độ cũng là một tỷ lệ, vì vậy cách suy luận tương tự áp dụng cho quãng đường và thời gian. Hướng dẫn về tốc độ, quãng đường và thời gian của chúng tôi giải thích đầy đủ chủ đề này.

Phương pháp nhanh để giải câu hỏi về tỷ lệ khi bị giới hạn thời gian

1. Ghi rõ từng phần. Viết tỷ lệ cùng với tên các nhóm, chẳng hạn "S 2 : O 9", để tránh đảo thứ tự.
2. Đánh dấu thông tin đã biết: tổng, một nhóm hoặc phần chênh lệch. Điều này quyết định bạn cần chia cho tổng số phần, số phần của một nhóm hay độ chênh lệch giữa các phần.
3. Tìm giá trị của một phần, rồi nhân lên. Hầu hết câu hỏi về tỷ lệ đều gồm hai bước này.
4. Tận dụng các phương án. Trong tỷ lệ 5:3, phần lớn hơn phải là bội số của 5 phần và tổng phải chia hết cho 8. Bạn có thể loại các phương án không thỏa mãn trước khi tính.
5. Kiểm tra bằng cách cộng lại. Các phần phải cộng thành tổng; chênh lệch số phần phải khớp với mức chênh lệch đề bài đưa ra.

Tỷ lệ thường xuất hiện cùng với phần trăm và giá trị trung bình trong cùng một bộ dữ liệu. Nếu bạn đang chuẩn bị cho bài kiểm tra toán có giới hạn thời gian, hãy luyện chuyển đổi giữa cả ba dạng cho đến khi thành thạo.