Задачи на числовые последовательности: как решать их быстро

Семь закономерностей

1. Прибавляйте или вычитайте одну и ту же величину. В последовательности 4, 11, 18, 25, ... каждый раз прибавляют 7, поэтому следующим будет 32.

2. Умножайте или делите на одно и то же число. В последовательности 3, 6, 12, 24, ... каждое число вдвое больше предыдущего, поэтому ответ - 48. А в последовательности 400, 200, 100, ... каждое число вдвое меньше предыдущего, поэтому ответ - 50.

3. Разница увеличивается или уменьшается. В последовательности 2, 3, 5, 8, 12, ... прибавляют 1, 2, 3, 4, поэтому, прибавив 5, получаем 17.

4. Чередование правил. В последовательности 5, 10, 8, 16, 14, ... чередуются умножение на 2 и вычитание 2, поэтому следующий шаг - умножить на 2: 28.

5. Квадраты и кубы. Числа 1, 4, 9, 16, 25 - это произведения 1 x 1, 2 x 2 и так далее до 5 x 5. Числа 1, 8, 27, 64 - кубы. Обратите внимание на правило «квадрат плюс один»: 2, 5, 10, 17.

6. Сочетание действий. В последовательности 2, 5, 11, 23, ... правило - «умножить на 2, затем прибавить 1», поэтому следующим будет 47.

7. Две чередующиеся последовательности. В последовательности 1, 20, 3, 18, 5, 16, ... числа на нечётных местах увеличиваются на 2 (1, 3, 5), а числа на чётных местах уменьшаются на 2 (20, 18, 16), поэтому следующим будет 7.

В некоторых тестах также встречается последовательность Фибоначчи, в которой каждое число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Быстрый способ

1. Запишите под числами разности между соседними числами. Большинство последовательностей становятся понятны именно здесь: разность может быть постоянной (закономерность 1) или сами разности могут подчиняться закономерности (закономерность 3).
2. Если разности быстро растут, попробуйте найти отношение: разделите каждое число на предыдущее (закономерности 2 и 6).
3. Если последовательность меняется зигзагами, разделите её на числа, стоящие на нечётных и чётных местах (закономерность 7) или поищите чередование действий (закономерность 4).
4. Если ничего не подходит, проверьте, нет ли квадратов, кубов или последовательности Фибоначчи.
5. Проверьте правило на каждом числе, а не только на двух последних. Правило, подходящее к большей части последовательности, не обязательно является верным.

Когда это войдёт в привычку, проверка будет занимать считаные секунды и поможет не угадывать по вариантам ответа.

Примеры с решениями

7, 10, 16, 25, 37, ... Разности: 3, 6, 9, 12. Они увеличиваются на 3, значит, следующая разность - 15, а ответ - 52.

3, 9, 27, 81, ... Каждое число в 3 раза больше предыдущего, поэтому ответ - 243.

64, 32, 34, 17, 19, ... Чередование: разделить пополам, прибавить 2, разделить пополам, прибавить 2. Следующий шаг - разделить пополам: 9.5.

4, 9, 19, 39, ... Умножить на 2 и прибавить 1: 4 x 2 + 1 = 9, 9 x 2 + 1 = 19, 19 x 2 + 1 = 39, поэтому ответ - 79.

2, 12, 4, 10, 6, 8, ... Две последовательности: 2, 4, 6 (увеличение на 2) и 12, 10, 8 (уменьшение на 2). Следующее число относится к первой последовательности: 8.

Как выглядят задания на числовые последовательности в тестах при приёме на работу

Одни и те же закономерности встречаются в заданиях разных форматов. Если заранее знать формат, вам не придётся перечитывать инструкции на время.

Следующее число. Самый распространённый формат: от четырёх до шести чисел и на выбор четыре или пять вариантов ответа.

Пропущенное число в середине. 4, 8, ?, 32, 64. Рассматривайте пропуск как два шага. Здесь каждое число удваивается, поэтому пропущенное число - 16. Проверьте с обеих сторон: 8 x 2 = 16 и 16 x 2 = 32.

Лишнее число. «Какое число здесь лишнее?» 3, 6, 12, 25, 48. Числа в последовательности удваиваются, поэтому вместо 25 должно быть 24. В таких заданиях важно проверить каждый член последовательности - это привычка из шага 5 быстрого метода.

Буквенная последовательность. A, C, F, J, ... подчиняется той же логике, но с буквами. Переведите буквы в их порядковые номера в алфавите (A = 1, C = 3, F = 6, J = 10). Интервалы равны 2, 3, 4, значит следующий интервал - 5, а ответ - буква O, занимающая позицию 15.

Задания на закономерности в тестах общего характера. В быстрых тестах на общие когнитивные способности последовательности сочетаются с заданиями на слова, математику и логику. Например, Wonderlic указывает «выявление закономерностей» среди типов вопросов в своём когнитивном тесте из 50 вопросов на 12 минут (Wonderlic). Criteria указывает в CCAT тип вопросов «математика и логика» (Criteria).

Более сложные закономерности, которые могут встретиться

Если ни один из семи основных шаблонов не подходит, вероятно, подходит один из этих.

Умножающиеся разности. 2, 3, 5, 9, 17, ... Разности равны 1, 2, 4, 8, то есть каждый раз удваиваются. Следующая разность - 16, поэтому ответ: 33. (Можно также рассматривать правило как «удвоить, затем вычесть 1»: 17 x 2 - 1 = 33. Если к одному ответу ведут два способа, это хороший знак.)

Умножение на возрастающее число. В последовательности 1, 2, 6, 24, 120, ... каждый раз умножаем на 2, затем на 3, затем на 4, затем на 5. Следующий шаг - x6, получается 720.

Разности второго порядка. 1, 2, 6, 15, 31, ... Разности равны 1, 4, 9, 16, то есть это квадраты чисел. Следующий квадрат - 25, поэтому ответ: 31 + 25 = 56.

Простые числа. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... - простые числа (они делятся только на 1 и на себя). Следующее число - 17. Запомните простые числа до 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Чередование знаков. В последовательности 3, -6, 12, -24, ... каждый раз умножаем на -2, поэтому следующее число - 48.

Дроби. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... Числитель и знаменатель каждый раз увеличиваются на 1, поэтому следующее число - 5/6. Рассматривайте числитель и знаменатель как две отдельные последовательности.

Ловушки, которые устраивают составители тестов

Варианты с неправильными ответами редко бывают случайными. Обычно каждый из них соответствует распространённой ошибке, поэтому, зная эти ошибки, вы сможете распознать ловушку.

• Остановиться на первом подходящем правиле. В последовательности 2, 4, 8, 14, ... удвоение подходит для первых трёх чисел, поэтому 28 кажется заманчивым вариантом. Но число 14 нарушает это правило. Разности равны 2, 4, 6, значит, следующая разность - +8: ответ 22.
• Рассматривать не ту последовательность. В чередующейся последовательности определите, на какой позиции стоит пропуск. В последовательности 3, 30, 6, 27, 9, 24, ... следующее число - седьмой член. Он относится к числам на нечётных позициях (3, 6, 9), поэтому ответ - 12, а не 21.
• Небольшие арифметические ошибки. Если разности велики, сложите их на бумаге или дважды проверьте вычисления в уме. Вариант, который отличается ровно на 1 или 10, часто добавлен именно из-за такой ошибки.
• Перепутать направление. В убывающей последовательности, например 96, 48, 24, ..., легко умножить вместо того, чтобы делить. Ответ - 12, а 48 или 96 могут быть вариантами-ловушками.
• Принять вопрос о пропущенном среднем числе за вопрос о следующем числе. Перед началом проверьте, где стоит знак вопроса.

Используя варианты ответов

Варианты ответа содержат подсказки. Используйте их, но только после того, как попробуете самостоятельно найти правило.

Сначала оцените ответ. Если ряд растёт за счёт умножения, следующий ответ должен быть намного больше последнего числа. Если два варианта близки к последнему числу, а два намного больше, часто можно сразу исключить половину вариантов.

Проверьте чётность и нечётность. Если все числа нечётные, а правило предписывает прибавить чётное число, ответ тоже должен быть нечётным.

Проверьте вариант в обратном направлении. Если вы выбираете между двумя ответами, поставьте каждый из них в конец ряда и посмотрите на разности. Правильный ответ сохраняет закономерность, а неправильный её нарушает.

Не выводите правило только из вариантов ответа. Выбор варианта, который «кажется правильным», - именно на это и рассчитаны ответы-ловушки. Первые несколько секунд потратьте на разности.

Как решать числовые последовательности в условиях нехватки времени

В быстрых тестах на когнитивные способности на каждый вопрос отводится мало времени. Когнитивный тест Wonderlic состоит из 50 вопросов, на выполнение даётся 12 минут (Wonderlic), то есть около 14 секунд на вопрос. CCAT состоит из 50 вопросов, на выполнение даётся 15 минут (Criteria), то есть около 18 секунд на вопрос. По данным разработчиков, в обоих тестах нельзя пользоваться калькулятором (Wonderlic FAQ, Criteria).

В таком темпе на простой ряд с прибавлением или умножением должно уходить меньше 15 секунд. На ряд с двумя действиями или чередованием правил может уйти 25 секунд. Если примерно за 30 секунд вы не нашли правило, выберите наиболее вероятный вариант и переходите дальше. Criteria сообщает, что в CCAT за неправильные ответы баллы не снимают, поэтому обоснованное предположение ничего вам не стоит. Wonderlic советует кандидатам не задерживаться надолго на одном вопросе и не перескакивать по тесту в надежде вернуться к пропущенным вопросам.

В тестах на числовое или логическое мышление, где вопросов меньше, но они длиннее, у вас больше времени, поэтому проверьте каждый элемент, прежде чем выбрать ответ.

Как тренироваться решать задания на числовые последовательности

Короткие ежедневные занятия эффективнее одной долгой тренировки. Решайте по десять рядов в день в течение четырёх или пяти дней, чтобы развить необходимое распознавание закономерностей.

Всегда записывайте разности. Даже если вам кажется, что ответ уже очевиден, запись ряда разностей помогает выработать привычку, на которую вы сможете опереться в условиях ограниченного времени.

Засекайте время. Сначала решайте без ограничения времени, чтобы освоить закономерности. Затем установите лимит в 20 секунд на ряд, а потом сократите его до 15 секунд.

Разбирайте каждую ошибку. Отмечайте, какую закономерность вы пропустили. Большинство замечает, что одна или две закономерности (обычно чередующиеся закономерности и разности второго порядка) становятся причиной основной части ошибок.

Поддерживайте навыки устного счёта. В большинстве тестов на когнитивные способности задания с рядами соседствуют с вопросами на проценты, отношения и скорость. Этим темам посвящены наши руководства: вопросы на проценты, вопросы на отношения и скорость, расстояние и время. Руководство по силлогизмам посвящено логическим заданиям, которые часто встречаются рядом.