Задачи на проценты: методы и примеры решений

Процент от числа

Умножьте на процент, записанный в виде десятичной дроби: 35% от 240 - это 0.35 x 240 = 84.

Быстрый способ в уме: сложите 10% и 5%. 10% от 240 - это 24, значит, 30% - это 72, 5% - это 12, а 35% - это 84. Такой расчёт можно быстро выполнить на тесте без калькулятора.

Доля от общего числа: «Сколько процентов составляет 18 от 80?» Разделите, а затем умножьте на 100: 18 / 80 = 0.225, или 22.5%.

Процентное изменение

Процентное изменение = (новое - старое) / старое × 100.

Продажи выросли с 400 до 460: (460 - 400) / 400 = 60 / 400 = 15%.

Затраты снизились с 250 до 200: (200 - 250) / 250 = -50 / 250 = -20%, то есть снижение на 20%.

Ловушка: делить на новое значение. 60 / 460 = 13% - это типичный неверный вариант. Всегда делите на исходное значение.

Обратный расчёт процентов

Если в условии дана величина после изменения, разделите её на коэффициент изменения.

После увеличения на 25% цена составляет $150. Изначальная цена: $150 / 1.25 = $120.

После скидки 20% цена составляет $64. Изначальная цена: $64 / 0.8 = $80.

Ловушка: вычесть 25% из $150 ($112.50) или прибавить 20% к $64 ($76.80). Ни один из этих расчётов не вернёт вас к исходной величине, потому что процент применялся к другой базе.

Процентные пункты

Изменение самой ставки можно описать двумя способами.

Процентная ставка выросла с 4% до 5%. Это рост на 1 процентный пункт и увеличение ставки на 25% (1 / 4).

В тестах используют это различие, чтобы запутать: внимательно прочитайте, спрашивается ли о «процентных пунктах» или о «процентах».

Изменения в строке

Последовательные процентные изменения нужно перемножать, а не складывать.

Цена сначала повышается на 10%, а затем снижается на 10%. Перемножьте: 1.1 x 0.9 = 0.99. В итоге цена снизилась на 1%, а не осталась прежней.

Продажи два года подряд растут на 20%: 1.2 x 1.2 = 1.44. Это рост на 44%, а не на 40%.

Проценты в таблицах для тестов на числовое мышление

В тестах на числовое мышление вопросы о процентах редко сводятся к простым вычислениям. Обычно нужно работать с таблицей или диаграммой, и самое сложное - выбрать нужные числа. Рассмотрим небольшую таблицу продаж (в единицах продукции):

• Север: 240 в Q1, 270 в Q2
• Юг: 180 в Q1, 171 в Q2
• Запад: 150 в Q1, 159 в Q2

«На сколько процентов выросли продажи на Севере с Q1 до Q2?» (270 - 240) / 240 = 30 / 240 = 12.5%.

«Как изменились продажи на Юге в процентах?» (171 - 180) / 180 = -9 / 180 = -5%, то есть продажи упали на 5%.

«Какая доля продаж за Q2 пришлась на Север?» Общий объём продаж за Q2 составляет 270 + 171 + 159 = 600. Доля Севера - 270 / 600 = 45%.

«На сколько процентов вырос общий объём продаж?» Общий объём за Q1 составляет 570, а за Q2 - 600, поэтому 30 / 570 = около 5.3%.

В последнем вопросе есть подвох. Если усреднить изменения в трёх регионах (12.5%, -5% и 6%), получится 4.5%, но это неверно, поскольку размеры регионов различаются. Всегда возвращайтесь к общим итогам.

Проверяйте единицы измерения и период. В таблицах могут одновременно использоваться тысячи и миллионы или месячные и годовые показатели. Многие неправильные варианты ответа возникают, когда верный метод применяют не к той строке или колонке.

Дроби, которые нужно знать наизусть

В когнитивных тестах на время обычно запрещено пользоваться калькулятором. Wonderlic сообщает, что на его тесте нельзя пользоваться калькулятором (Wonderlic FAQ), и Criteria указывает то же правило для CCAT (Criteria). Знание этих соотношений поможет решить многие задачи на проценты в один шаг:

• 1/2 = 50%, 1/4 = 25%, 3/4 = 75%
• 1/5 = 20%, 2/5 = 40%, 1/10 = 10%
• 1/8 = 12.5%, 3/8 = 37.5%, 5/8 = 62.5%, 7/8 = 87.5%
• 1/3 = примерно 33.3%, 2/3 = примерно 66.7%, 1/6 = примерно 16.7%

Например, 37.5% от 64 - это 3/8 от 64: 64 / 8 = 8, а 8 x 3 = 24. А вопрос «Сколько процентов составляет 15 от 40?» сводится к вычислению 15/40 = 3/8 = 37.5%.

Приём перестановки. x% от y равно y% от x. Значит, 8% от 25 - это то же самое, что 25% от 8, то есть 2. Используйте этот приём, когда одно из чисел удобнее выразить в процентах.

Прибыль, наценка, рентабельность и налог

В задачах с деловым контекстом используются те же методы, но формулировка подсказывает, на какое число нужно делить.

Наценка - это прибыль в процентах от себестоимости. Товар стоит $80, а продаётся за $100. Прибыль составляет $20, поэтому наценка равна 20 / 80 = 25%.

Маржа - это прибыль в процентах от цены продажи. Для того же товара: 20 / 100 = 20%. Одна продажа, два разных процента, и оба обычно есть среди вариантов ответа.

Добавление налога. $50 плюс налог 8%: 50 x 1.08 = $54.

Вычитание налога. Цена $54 включает налог 8%. Цена до налога: 54 / 1.08 = $50. Если вычесть 8% из $54, получится $49.68 - это ещё одна ловушка с обратным вычислением процента.

Процент от процента. Если 40% сотрудников работают в отделе продаж, а 25% сотрудников отдела продаж - руководители, то руководители отдела продаж составляют 0.4 x 0.25 = 10% от всех сотрудников.

Три примера с несколькими шагами

В более сложных задачах на проценты сочетаются два описанных выше метода. Решайте такие задачи по шагам.

Численность команды выросла на 20% и составила 36 человек. Сколько человек присоединилось? Сначала найдите исходную численность: 36 / 1.2 = 30 человек. Затем вычтите: 36 - 30 = 6 человек присоединилось. Не попадитесь в ловушку: 20% от 36 (7.2) - неверный ответ.

Цену $200 сначала снизили на 15%, а затем ещё на 10%. Какова итоговая цена? Перемножьте коэффициенты: 200 x 0.85 = 170, затем 170 x 0.9 = $153. Общая скидка составляет 23.5%, а не 25%.

В первый год из 480 опрошенных согласились 360 человек. Во второй год из 540 опрошенных согласились 378. Как изменилась доля согласившихся? Первый год: 360 / 480 = 75%. Второй год: 378 / 540 = 70%. Доля снизилась на 5 процентных пунктов, хотя согласившихся стало больше. Такие вопросы проверяют, сравниваете ли вы доли или абсолютные числа.

Ловушки: полный список

Большинство ошибок в задачах на проценты связано с несколькими типичными ловушками. Перед выбором ответа проверьте, не допустили ли вы одну из них:

• Деление на новое значение при расчёте процентного изменения. Делите на исходное значение.
• Вычитание процента из конечного значения при расчёте исходного значения. Вместо этого разделите на множитель.
• Сложение последовательных изменений. Перемножьте множители.
• Путаница между процентами и процентными пунктами при изменении ставки.
• Усреднение процентов для групп разного размера. Используйте общие значения.
• Путаница между наценкой и маржой. Проверьте, сравнивает ли задача прибыль с себестоимостью или с ценой.
• Выбор неправильной строки или года в таблице. Перед расчётом укажите на два нужных числа.

Как быстрее выполнять задания в тестах с ограничением времени

1. Определите тип задачи. Нужно найти процент от числа, процентное изменение, исходное значение, процентные пункты или последовательные изменения? Для каждого типа есть свой способ решения, поэтому сначала определите тип задачи.
2. Сначала оцените ответ, а потом считайте. 19% от 412 - это примерно 20% от 400, то есть 80. Точный ответ - 78.28. Если варианты сильно различаются, одной оценки может быть достаточно.
3. Используйте множители. Увеличение на 15% - это умножение на x1.15, уменьшение на 15% - на x0.85. Множители позволяют решить задачу на обратный процент или последовательные изменения всего в одну строку.
4. Сверьте ответ с условием. Если в задаче спрашивают об уменьшении, а у вас получилось увеличение, значит, вы выполнили деление в неправильном порядке.

В тестах с калькулятором риск связан скорее с вводом данных, чем с арифметикой. Сначала оцените ответ, чтобы заметить результат, отличающийся в 10 раз.

Проценты часто встречаются вместе с отношениями и скоростью. Если хотите потренироваться и в этих темах, ознакомьтесь с нашими руководствами: задачи на отношения и скорость, расстояние и время.