Задачи на соотношения: методы решения и примеры

Что показывает соотношение

Отношение 3:2 между двумя командами означает, что на каждых 3 человек в первой команде приходится 2 человека во второй. Всего 3 + 2 = 5 частей.

По этим частям можно определить три разных соотношения. В тестах проверяют, умеете ли вы их различать:

• Доля каждой группы от целого: первая команда составляет 3/5 от общего числа (60%), а вторая - 2/5 (40%).
• Сравнение одной группы с другой: первая команда в 3/2 = 1.5 раза больше второй.
• Разница: первая команда больше второй на 1 часть.

Ловушка: прочитать 3:2 как «первая группа составляет 3/2 от общего числа» или «первая группа составляет 3/5 от второй». Перед вычислениями сформулируйте, что именно нужно сравнить: часть с частью или часть с целым.

Порядок важен. В выражении «отношение руководителей к сотрудникам равно 1:6» сначала указаны руководители. Если поменять порядок, все последующие ответы будут неверными, а ответ с переставленными числами обычно есть среди вариантов.

Разделение суммы в заданном соотношении

Это самый распространённый тип вопросов на пропорции в тестах при приёме на работу. Каждый раз используйте три шага:

1. Сложите доли.
2. Разделите общую сумму на количество долей, чтобы найти величину одной доли.
3. Умножьте её на количество долей каждой группы.

Пример с решением: бонусный фонд в размере $4,800 делят между двумя командами в отношении 5:3. Сколько получит каждая команда?

1. 5 + 3 = 8 долей.
2. $4,800 / 8 = $600 за одну долю.
3. Первая команда: 5 x $600 = $3,000. Вторая команда: 3 x $600 = $1,800.

Проверка: $3,000 + $1,800 = $4,800. Всегда складывайте доли и проверяйте общую сумму. Это занимает пару секунд и помогает избежать большинства ошибок.

Для трёх групп способ тот же. 360 часов работы над проектом распределяют между проектированием, разработкой и тестированием в отношении 2:3:7. Всего 12 долей, значит, одна доля равна 360 / 12 = 30 часам. На проектирование приходится 60 часов, на разработку - 90, на тестирование - 210. Проверка: 60 + 90 + 210 = 360.

Когда известна одна доля, а не общая сумма

Во многих задачах на отношения известен размер одной группы или разница между двумя группами, а найти нужно что-то другое. Подход с «величиной одной доли» по-прежнему работает: просто найдите долю, используя другое число.

По размеру одной группы: соотношение руководителей и операторов на объекте равно 2:9, операторов 54. Сколько руководителей?

• 9 долей = 54, значит, 1 доля = 6.
• Руководителей = 2 x 6 = 12. Всего на объекте 11 долей = 66 человек.

По разнице: двое партнёров делят прибыль в соотношении 7:4, и первый получает на $45,000 больше второго. Какова общая сумма?

• Разница составляет 7 - 4 = 3 доли, значит, 3 доли = $45,000, а 1 доля = $15,000.
• Всего 11 долей = $165,000. Доли равны $105,000 и $60,000; их разница составляет $45,000, что подтверждает ответ.

Ловушка: разделить известную группу на общее количество долей. В примере с объектом 54 / 11 - это не величина одной доли: 54 - это только 9 долей операторов.

Сокращение и масштабирование отношений

Сократите отношение, разделив все числа на наибольшее число, на которое делится каждое из них. 45:60 делим на 15 и получаем 3:4. 84:126 делим на 42 и получаем 2:3. Если не удаётся сразу найти наибольший делитель, делите последовательно на меньшие числа: 84:126, делим пополам и получаем 42:63, делим на 3 и получаем 14:21, делим на 7 и получаем 2:3.

Десятичные дроби и обыкновенные дроби в отношении: умножайте каждый член отношения на одно и то же число, пока все числа не станут целыми. 1.5:2 превращается в 3:4 (умножаем на 2). 1/2:1/3 превращается в 3:2 (умножаем на 6).

Увеличение или уменьшение пропорции: чистящий раствор смешивают в отношении 1:4, концентрат к воде.

• Если задан общий объём: 2.5 литра раствора - это 5 частей, значит, 1 часть составляет 0.5 литра: 0.5 литра концентрата и 2 литра воды.
• Если известен объём одного ингредиента: к 3 литрам концентрата нужно добавить 3 x 4 = 12 литров воды. Общий объём составит 15 литров.

Ловушка при изменении пропорции: добавление одинакового количества к обеим частям. Если перейти от 1:4 к 2:5, «добавив по единице», состав смеси изменится. Пропорции изменяют умножением, а не сложением.

Сочетание и изменение соотношений

Сочетание двух отношений с общим членом. Вам даны отношения A:B = 2:3 и B:C = 4:5, и нужно найти A:B:C. Значения B (3 и 4) не совпадают, поэтому масштабируйте оба отношения так, чтобы значение B было одинаковым.

1. Найдите общее значение для B. Наименьшее число, на которое делятся и 3, и 4, - 12.
2. Умножьте A:B на 4, чтобы получить 8:12, а B:C - на 3, чтобы получить 12:15.
3. Объедините результаты: A:B:C = 8:12:15, значит, A:C = 8:15.

Вариант-ловушка - объединить отношения, не согласовав значения B, и получить 2:3:5 или 2:4:5.

Изменение отношений. В коробке 40 предметов - красные и синие - в отношении 3:5. Это 15 красных и 25 синих предметов. Если добавить 5 красных предметов, новое отношение будет 20:25, то есть 4:5 после сокращения. Метод всегда один и тот же: сначала переведите отношение в конкретные числа, внесите изменения в числа, а затем запишите результат как отношение. Нельзя напрямую прибавлять предметы к отношению.

Решение обратным ходом: сколько красных предметов нужно добавить, чтобы отношение стало 1:1? Синих по-прежнему 25, значит, красных тоже должно быть 25: добавьте 10.

Соотношения, дроби и проценты

В одной задаче на числовое мышление часто нужно переходить от одной формы к другой. Вот как выполнять такие преобразования:

• Из отношения в долю от целого: отношение 3:5 означает, что первая группа составляет 3/(3 + 5) = 3/8 от общего количества.
• Из дроби в проценты: 3/8 = 0.375 = 37.5%.
• Из процентов в отношение: если 35% кандидатов - сотрудники компании, то остальные (65%) - внешние кандидаты. Значит, отношение сотрудников компании к внешним кандидатам равно 35:65 = 7:13.

Ловушка: напрямую принимать числа в отношении за дробь. Если в команде отношение числа женщин к числу мужчин равно 3:5, женщины составляют 37.5% команды, а не 3/5 = 60%. Составители тестов добавляют вариант 60%, потому что именно такой ответ получается, если пропустить шаг «сложить части».

О процентах в таких преобразованиях, в том числе об изменении процентов и обратном расчёте процентов, читайте в нашем руководстве по задачам на проценты.

Пропорции и показатели по таблицам

Прямая пропорциональность: когда одна величина увеличивается вдвое, другая тоже увеличивается вдвое. 4 принтера печатают 600 страниц за 10 минут, значит, 1 принтер печатает 150 страниц, а 6 принтеров за то же время напечатают 6 x 150 = 900 страниц. Сначала найдите показатель для одного принтера, затем умножьте.

Обратная пропорциональность: чем больше одна величина, тем меньше другая. 6 работников выполняют работу за 8 дней, значит, на неё требуется 6 x 8 = 48 человеко-дней. Если работников 4, потребуется 48 / 4 = 12 дней. Ошибка - менять величины в неверном направлении: меньше работников не может означать меньше дней.

Скорости по таблицам. Во многих заданиях на числовое мышление соотношение скрыто в таблице данных. Например, в таблице указаны три команды:

• Команда A: 12 сотрудников, 2 руководителя
• Команда B: 20 сотрудников, 4 руководителя
• Команда C: 21 сотрудник, 3 руководителя

"В какой команде больше всего сотрудников на одного руководителя?" Переведите каждое соотношение в показатель на одного человека: для A это 6:1, для B - 5:1, для C - 7:1, значит, ответ - команда C. Если сравнивать только общее число сотрудников, можно выбрать команду B - в этом и заключается ловушка.

Скорость - это тоже показатель соотношения, поэтому тот же принцип применим к расстоянию и времени. Подробное объяснение этой темы есть в нашем руководстве по скорости, расстоянию и времени.

Быстрый способ решать задачи на соотношения в условиях ограниченного времени

1. Подпишите части отношения. Запишите отношение вместе с обозначениями, например «S 2 : O 9», чтобы не перепутать порядок.
2. Отметьте, что вам известно: сумму, одну группу или разницу. От этого зависит, на что нужно делить: на общее число частей, на число частей в одной группе или на разницу между группами.
3. Найдите значение одной части, затем умножьте. Почти все задачи на отношения сводятся к этим двум действиям.
4. Используйте варианты ответа. При отношении 5:3 большая доля должна быть кратна 5 частям, а сумма должна делиться на 8. Варианты, которые этому не соответствуют, можно исключить до вычислений.
5. Проверьте ответ сложением. Доли в сумме должны давать общий результат, а разница между числом частей должна соответствовать указанной разнице.

Отношения часто встречаются вместе с процентами и средними значениями в одном наборе данных. Если вы готовитесь к тесту по математике на время, тренируйтесь переходить от одного типа задач к другому, пока это не станет привычным.