Problemi con i rapporti: metodi ed esempi svolti

Cosa indica un rapporto

Un rapporto di 3:2 tra due squadre significa che per ogni 3 persone nella prima squadra ce ne sono 2 nella seconda. Il totale è 3 + 2 = 5 parti.

Da queste parti si possono ricavare tre informazioni diverse, e nei test bisogna saperle distinguere:

• Ogni gruppo come quota del totale: la prima squadra rappresenta 3/5 del totale (60%) e la seconda 2/5 (40%).
• Un gruppo a confronto con l'altro: la prima squadra è 3/2 = 1.5 volte più grande della seconda.
• La differenza: la prima squadra ha 1 parte in più della seconda.

Attenzione all'inganno: interpretare 3:2 come «il primo gruppo è 3/2 del totale» oppure «il primo gruppo è 3/5 del secondo». Prima di fare i calcoli, chiarisci a parole quale confronto viene richiesto: parte con parte oppure parte con il totale.

L'ordine è importante. «Il rapporto tra responsabili e dipendenti è 1:6» mette i responsabili al primo posto. Se si inverte l'ordine, tutte le risposte che ne derivano sono sbagliate e quella con l'ordine invertito è di solito una delle opzioni.

Ripartire un importo secondo un rapporto

Questa è la domanda sui rapporti più comune nei test di selezione. Segui sempre questi tre passaggi:

1. Somma le parti.
2. Dividi il totale per il numero di parti per trovare il valore di una parte.
3. Moltiplica per le parti di ciascun gruppo.

Esempio svolto: un bonus totale di $4,800 viene diviso tra due squadre nel rapporto 5:3. Quanto riceve ciascuna squadra?

1. 5 + 3 = 8 parti.
2. $4,800 / 8 = $600 per parte.
3. Prima squadra: 5 x $600 = $3,000. Seconda squadra: 3 x $600 = $1,800.

Verifica: $3,000 + $1,800 = $4,800. Somma sempre le quote per verificare che il totale sia corretto: bastano due secondi e puoi evitare la maggior parte degli errori.

La divisione in tre quote segue lo stesso metodo. 360 ore di lavoro su un progetto vengono suddivise tra progettazione, realizzazione e test nel rapporto 2:3:7. In tutto sono 12 parti, quindi una parte vale 360 / 12 = 30 ore. Alla progettazione vanno 60 ore, alla realizzazione 90 e ai test 210. Verifica: 60 + 90 + 210 = 360.

Quando conosci una quota, ma non il totale

Molti problemi con i rapporti indicano la dimensione di un gruppo o la differenza tra due gruppi e chiedono di calcolare qualcos'altro. Il passaggio del «valore di una parte» funziona comunque: basta ricavare la parte da un numero diverso.

Partendo da un gruppo: in un cantiere il rapporto tra responsabili e operai è 2:9 e ci sono 54 operai. Quanti sono i responsabili?

• 9 parti = 54, quindi 1 parte = 6.
• Responsabili = 2 x 6 = 12. In tutto il cantiere ci sono 11 parti = 66 persone.

Partendo dalla differenza: due soci dividono i profitti nel rapporto 7:4 e il primo riceve $45,000 in più del secondo. Qual è l'importo totale da dividere?

• La differenza è 7 - 4 = 3 parti, quindi 3 parti = $45,000 e 1 parte = $15,000.
• Il totale è 11 parti = $165,000. Le quote sono $105,000 e $60,000; la differenza è $45,000, il che conferma la risposta.

L'errore da evitare: dividere il numero noto di un gruppo per il totale delle parti. Nell'esempio del cantiere, 54 / 11 non corrisponde a una parte: 54 è il valore delle 9 parti degli operai.

Semplificare e ampliare i rapporti

Semplifica dividendo ogni numero per il più grande numero che li divide tutti. 45:60 diviso 15 dà 3:4. 84:126 diviso 42 dà 2:3. Se non riesci a individuare il divisore più grande, dividi prima per numeri più piccoli: 84:126, dividi per 2 e ottieni 42:63, dividi per 3 e ottieni 14:21, dividi per 7 e ottieni 2:3.

Decimali e frazioni in un rapporto: moltiplica ogni termine per lo stesso numero finché diventano interi. 1.5:2 diventa 3:4 (moltiplicando per 2). 1/2:1/3 diventa 3:2 (moltiplicando per 6).

Aumentare o ridurre in proporzione: una soluzione detergente viene preparata nel rapporto 1:4, concentrato e acqua.

• Per ottenere una quantità totale prestabilita: 2.5 litri di soluzione corrispondono a 5 parti, quindi 1 parte è pari a 0.5 litri: 0.5 litri di concentrato e 2 litri di acqua.
• Partendo da un ingrediente: 3 litri di concentrato richiedono 3 x 4 = 12 litri di acqua, per un totale di 15 litri.

L'errore da evitare quando si scala: aggiungere la stessa quantità a entrambi i termini. Passare da 1:4 a 2:5 "aggiungendo uno a ciascuno" cambia la miscela. I rapporti si scalano moltiplicando, mai sommando.

Combinare e modificare i rapporti

Combinare due rapporti che condividono un termine. Si sa che A:B = 2:3 e B:C = 4:5 e si deve trovare A:B:C. I due valori di B (3 e 4) non coincidono, quindi occorre moltiplicare entrambi i rapporti finché il valore di B è lo stesso.

1. Trovi un valore comune per B. Il più piccolo numero divisibile sia per 3 sia per 4 è 12.
2. Moltiplichi A:B per 4, ottenendo 8:12, e B:C per 3, ottenendo 12:15.
3. Legga i valori in sequenza: A:B:C = 8:12:15, quindi A:C = 8:15.

La risposta-trabocchetto unisce i rapporti senza far coincidere B, ottenendo 2:3:5 oppure 2:4:5.

Modificare i rapporti. Una scatola contiene 40 oggetti rossi e blu, nel rapporto 3:5. Ci sono quindi 15 oggetti rossi e 25 blu. Se si aggiungono 5 oggetti rossi, il nuovo rapporto è 20:25, che si semplifica in 4:5. Il metodo è sempre lo stesso: prima si converte il rapporto in quantità reali, poi si modificano le quantità e infine le si riconverte in un rapporto. Non si possono aggiungere oggetti direttamente a un rapporto.

Procedere a ritroso: quanti oggetti rossi bisogna aggiungere per ottenere un rapporto di 1:1? Gli oggetti blu restano 25, quindi anche quelli rossi devono arrivare a 25: bisogna aggiungerne 10.

Rapporti, frazioni e percentuali

Le domande di ragionamento numerico spesso passano da una forma all'altra nella stessa domanda. Ecco le conversioni:

• Da rapporto a frazione del totale: 3:5 significa che il primo gruppo rappresenta 3/(3 + 5) = 3/8 del totale.
• Da frazione a percentuale: 3/8 = 0.375 = 37.5%.
• Da percentuale a rapporto: se il 35% dei candidati proviene dall'interno, il resto (65%) proviene dall'esterno; quindi il rapporto tra interni ed esterni è 35:65 = 7:13.

L'inganno: trattare direttamente i numeri di un rapporto come una frazione. In un gruppo in cui il rapporto tra donne e uomini è 3:5, le donne rappresentano il 37.5% del gruppo, non 3/5 = 60%. Chi prepara i test inserisce 60% perché è la risposta che si ottiene saltando il passaggio «somma le parti».

Per la parte percentuale di queste conversioni, compresi la variazione percentuale e il calcolo delle percentuali inverse, consulta la nostra guida alle domande sulle percentuali.

Proporzioni e tassi ricavati dalle tabelle

Proporzionalità diretta: quando una quantità raddoppia, raddoppia anche l'altra. 4 stampanti producono 600 pagine in 10 minuti, quindi 1 stampante ne produce 150 e 6 stampanti producono 6 x 150 = 900 pagine nello stesso tempo. Calcola la quantità per una unità, poi moltiplica.

Proporzionalità inversa: quando all'aumentare di una quantità l'altra diminuisce. 6 lavoratori completano un lavoro in 8 giorni, quindi il lavoro richiede 6 x 8 = 48 giornate-lavoratore. Con 4 lavoratori occorrono 48 / 4 = 12 giorni. Attenzione a non invertire il ragionamento: meno lavoratori non possono significare meno giorni.

Rapporti ricavati dalle tabelle. Molte domande di ragionamento numerico nascondono un rapporto in una tabella di dati. Per esempio, una tabella elenca tre squadre:

• Squadra A: 12 dipendenti, 2 responsabili
• Squadra B: 20 dipendenti, 4 responsabili
• Squadra C: 21 dipendenti, 3 responsabili

"Quale squadra ha il maggior numero di dipendenti per responsabile?" Calcola il rapporto unitario per ciascuna: A è 6:1, B è 5:1 e C è 7:1, quindi la squadra C. Confrontare il numero totale di dipendenti porterebbe a scegliere la squadra B: è questa la trappola.

Anche la velocità è un rapporto, quindi lo stesso ragionamento vale per la distanza nel tempo. La nostra guida a velocità, distanza e tempo approfondisce l'argomento.

Un metodo rapido per risolvere quesiti sui rapporti quando il tempo è limitato

1. Indica a cosa si riferiscono le parti. Scrivi il rapporto con le relative etichette, per esempio "S 2 : O 9", per evitare di invertirne l'ordine.
2. Segna ciò che sai: il totale, una delle quantità o la differenza. Questo determina per quale valore dividere: tutte le parti, le parti di una quantità o la differenza tra le parti.
3. Trova il valore di una parte, poi moltiplica. Quasi tutte le domande sui rapporti si risolvono con questi due passaggi.
4. Usa le opzioni. In una ripartizione 5:3, la quantità maggiore deve essere un multiplo di 5 parti e il totale deve essere divisibile per 8. Puoi eliminare le opzioni che non rispettano queste condizioni prima di calcolare.
5. Verifica sommando di nuovo. Le quantità ripartite devono dare il totale; la differenza tra le parti deve corrispondere alla differenza indicata.

I rapporti compaiono spesso insieme a percentuali e medie nello stesso insieme di dati. Se ti stai preparando per un test numerico a tempo, esercitati a passare da un tipo di calcolo all'altro finché non diventa naturale.