Verhältnisaufgaben: Methoden und Schritt-für-Schritt-Beispiele

Was Ihnen ein Verhältnis sagt

Ein Verhältnis von 3:2 zwischen zwei Teams bedeutet, dass auf jeweils 3 Personen im ersten Team 2 Personen im zweiten kommen. Insgesamt sind das 3 + 2 = 5 Teile.

Aus diesen Teilen lassen sich drei verschiedene Dinge ableiten. In Tests wird geprüft, ob Sie sie auseinanderhalten:

• Der Anteil jeder Gruppe am Ganzen: Das erste Team umfasst 3/5 der Gesamtmenge (60%) und das zweite 2/5 (40%).
• Eine Gruppe im Vergleich zur anderen: Das erste Team ist 3/2 = 1.5-mal so groß wie das zweite.
• Der Unterschied: Das erste Team ist um 1 Teil größer als das zweite.

Die Falle: 3:2 so zu lesen, als wäre "die erste Gruppe 3/2 des Ganzen" oder "die erste Gruppe 3/5 der zweiten Gruppe". Bevor Sie rechnen, formulieren Sie in Worten, nach welchem Vergleich gefragt wird: Teil zu Teil oder Teil zum Ganzen.

Die Reihenfolge ist wichtig. Bei "Das Verhältnis von Führungskräften zu Mitarbeitern beträgt 1:6" stehen die Führungskräfte zuerst. Wenn Sie die Reihenfolge vertauschen, ist jede weitere Antwort falsch. Das vertauschte Ergebnis ist meist eine der Antwortmöglichkeiten.

Einen Betrag im Verhältnis aufteilen

Das ist die häufigste Verhältnisaufgabe in Einstellungstests. Gehen Sie jedes Mal in drei Schritten vor:

1. Addieren Sie die Anteile.
2. Teilen Sie den Gesamtbetrag durch die Anzahl der Anteile, um einen Anteil zu berechnen.
3. Multiplizieren Sie mit der Anzahl der Anteile jeder Gruppe.

Beispiel: Ein Bonuspool von $4,800 wird im Verhältnis 5:3 auf zwei Teams aufgeteilt. Wie viel erhält jedes Team?

1. 5 + 3 = 8 Anteile.
2. $4,800 / 8 = $600 pro Anteil.
3. Erstes Team: 5 x $600 = $3,000. Zweites Team: 3 x $600 = $1,800.

Kontrolle: $3,000 + $1,800 = $4,800. Addieren Sie Ihre Anteile immer wieder zusammen. Das dauert nur zwei Sekunden und deckt die meisten Fehler auf.

Bei einer Aufteilung auf drei Gruppen gehen Sie genauso vor. 360 Projektstunden werden im Verhältnis 2:3:7 auf Entwurf, Umsetzung und Testen verteilt. Das sind 12 Anteile, also entspricht ein Anteil 360 / 12 = 30 Stunden. Der Entwurf erhält 60 Stunden, die Umsetzung 90 und das Testen 210. Kontrolle: 60 + 90 + 210 = 360.

Wenn Sie einen Anteil kennen, aber nicht die Gesamtsumme

Bei vielen Verhältnisaufgaben ist die Größe einer Gruppe oder der Unterschied zwischen zwei Gruppen angegeben, und Sie sollen etwas anderes berechnen. Der Schritt "Wert eines Teils" funktioniert weiterhin; Sie ermitteln den Wert des Teils lediglich anhand einer anderen Zahl.

Ausgehend von einer Gruppe: Das Verhältnis von Führungskräften zu Beschäftigten auf einer Baustelle beträgt 2:9. Es gibt 54 Beschäftigte. Wie viele Führungskräfte gibt es?

• 9 Teile = 54, also ist 1 Teil = 6.
• Führungskräfte = 2 x 6 = 12. Die ganze Baustelle umfasst 11 Teile = 66 Personen.

Ausgehend vom Unterschied: Zwei Geschäftspartner teilen Gewinne im Verhältnis 7:4 auf. Die erste Person erhält $45,000 mehr als die zweite. Wie viel teilen sie insgesamt?

• Der Unterschied beträgt 7 - 4 = 3 Teile, also entsprechen 3 Teile $45,000 und 1 Teil $15,000.
• Insgesamt sind es 11 Teile = $165,000. Die Anteile betragen $105,000 und $60,000. Ihre Differenz beträgt $45,000, was die Antwort bestätigt.

Die Falle: Eine bekannte Gruppe durch die Gesamtzahl der Teile zu teilen. Im Beispiel mit der Baustelle ist 54 / 11 kein Teilwert; 54 entspricht allein den 9 Teilen der Beschäftigten.

Verhältnisse vereinfachen und erweitern

Kürzen Sie, indem Sie jede Zahl durch die größte Zahl teilen, durch die alle Zahlen teilbar sind. 45:60 geteilt durch 15 ergibt 3:4. 84:126 geteilt durch 42 ergibt 2:3. Wenn Sie den größten gemeinsamen Teiler nicht erkennen, teilen Sie nacheinander durch kleinere Zahlen: 84:126, halbiert ergibt 42:63, geteilt durch 3 ergibt 14:21, geteilt durch 7 ergibt 2:3.

Dezimalzahlen und Brüche in einem Verhältnis: Multiplizieren Sie alle Glieder mit derselben Zahl, bis sie ganzzahlig sind. 1.5:2 wird zu 3:4 (mal 2). 1/2:1/3 wird zu 3:2 (mal 6).

Verhältnisse vergrößern oder verkleinern: Eine Reinigungslösung wird im Verhältnis 1:4 gemischt, Konzentrat zu Wasser.

• Bei einer vorgegebenen Gesamtmenge: 2.5 Liter Lösung entsprechen 5 Teilen. 1 Teil sind also 0.5 Liter: 0.5 Liter Konzentrat und 2 Liter Wasser.
• Ausgehend von einer Zutat: Für 3 Liter Konzentrat brauchen Sie 3 x 4 = 12 Liter Wasser. Das ergibt insgesamt 15 Liter.

Die Falle beim Vergrößern: auf beiden Seiten dieselbe Menge addieren. Wenn Sie von 1:4 zu 2:5 wechseln, indem Sie "zu beiden eins addieren", verändert sich die Mischung. Verhältnisse werden durch Multiplizieren skaliert, niemals durch Addieren.

Verhältnisse kombinieren und verändern

Zwei Verhältnisse mit einem gemeinsamen Glied kombinieren. Sie wissen, dass A:B = 2:3 und B:C = 4:5 ist, und sollen A:B:C bestimmen. Die beiden Werte für B (3 und 4) stimmen nicht überein. Erweitern Sie daher beide Verhältnisse so, dass B denselben Wert hat.

1. Finden Sie einen gemeinsamen Wert für B. Die kleinste Zahl, durch die sich sowohl 3 als auch 4 teilen lassen, ist 12.
2. Erweitern Sie A:B mit 4. Das ergibt 8:12. Erweitern Sie B:C mit 3. Das ergibt 12:15.
3. Zusammengesetzt ergibt das: A:B:C = 8:12:15, also A:C = 8:15.

Eine typische falsche Antwort fügt die Verhältnisse zusammen, ohne B anzugleichen. So erhält man 2:3:5 oder 2:4:5.

Verhältnisse verändern. In einer Kiste liegen 40 rote und blaue Gegenstände im Verhältnis 3:5. Das sind 15 rote und 25 blaue Gegenstände. Werden 5 rote Gegenstände hinzugefügt, lautet das neue Verhältnis 20:25. Gekürzt ergibt das 4:5. Gehen Sie immer gleich vor: Wandeln Sie das Verhältnis zunächst in konkrete Zahlen um, verändern Sie die Zahlen und schreiben Sie das Ergebnis dann wieder als Verhältnis. Sie können nicht direkt Gegenstände zu einem Verhältnis addieren.

Rückwärts rechnen: Wie viele rote Gegenstände müssen hinzugefügt werden, damit das Verhältnis 1:1 beträgt? Die Anzahl der blauen Gegenstände bleibt bei 25. Die Anzahl der roten muss also ebenfalls 25 betragen: Fügen Sie 10 hinzu.

Verhältnisse, Brüche und Prozentsätze

Aufgaben zum numerischen Denken wechseln oft innerhalb einer Frage zwischen diesen drei Darstellungsformen. So rechnen Sie um:

• Verhältnis in einen Bruchteil des Ganzen umwandeln: 3:5 bedeutet, dass die erste Gruppe 3/(3 + 5) = 3/8 der Gesamtmenge ausmacht.
• Bruch in Prozent umwandeln: 3/8 = 0.375 = 37.5%.
• Prozent in ein Verhältnis umwandeln: Wenn 35% der Bewerber aus dem Unternehmen kommen, sind die übrigen (65%) externe Bewerber. Das Verhältnis von internen zu externen Bewerbern ist also 35:65 = 7:13.

Die Falle: Die Zahlen eines Verhältnisses direkt als Bruch zu behandeln. In einem Team mit einem Verhältnis von Frauen zu Männern von 3:5 machen Frauen 37.5% des Teams aus, nicht 3/5 = 60%. Die Testautoren nehmen 60% als Antwortmöglichkeit auf, weil dies das Ergebnis ist, wenn Sie den Schritt „Teile zusammenzählen“ überspringen.

Weitere Informationen zu Prozentaufgaben, einschließlich prozentualer Veränderung und rückwärts berechneter Prozentsätze, finden Sie in unserem Leitfaden zu Prozentaufgaben.

Verhältnisse und Raten aus Tabellen

Direkte Proportionalität: Wenn sich eine Größe verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere. 4 Drucker drucken in 10 Minuten 600 Seiten. Ein Drucker druckt also 150 Seiten und 6 Drucker drucken in derselben Zeit 6 x 150 = 900 Seiten. Berechnen Sie zuerst den Wert für einen Drucker und multiplizieren Sie dann.

Umgekehrte Proportionalität: Je größer die eine Größe, desto kleiner die andere. 6 Arbeitskräfte erledigen eine Aufgabe in 8 Tagen. Die Aufgabe umfasst also 6 x 8 = 48 Arbeitstage. Mit 4 Arbeitskräften dauert sie 48 / 4 = 12 Tage. Die Falle besteht darin, in die falsche Richtung zu rechnen: Weniger Arbeitskräfte können nicht weniger Tage bedeuten.

Verhältnisse aus Tabellen. In vielen Aufgaben zum numerischen Denken ist ein Verhältnis in einer Datentabelle versteckt. Eine Tabelle listet zum Beispiel drei Teams auf:

• Team A: 12 Mitarbeitende, 2 Führungskräfte
• Team B: 20 Mitarbeitende, 4 Führungskräfte
• Team C: 21 Mitarbeitende, 3 Führungskräfte

„Welches Team hat die meisten Mitarbeitenden pro Führungskraft?“ Berechnen Sie für jedes Team das Verhältnis pro Führungskraft: Bei A sind es 6:1, bei B 5:1 und bei C 7:1. Die Antwort ist also Team C. Ein Vergleich der reinen Mitarbeiterzahlen würde auf Team B hindeuten - das ist die Falle.

Auch Geschwindigkeit ist ein Verhältnis. Daher gilt dieselbe Denkweise für die zurückgelegte Strecke im Verhältnis zur Zeit. Unser Leitfaden zu Geschwindigkeit, Strecke und Zeit behandelt dieses Thema ausführlich.

Eine schnelle Methode für Verhältnisaufgaben unter Zeitdruck

1. Beschriften Sie die Anteile. Schreiben Sie das Verhältnis mit den zugehörigen Bezeichnungen auf, zum Beispiel "S 2 : O 9", damit Sie die Reihenfolge nicht vertauschen.
2. Markieren Sie, was Sie wissen: eine Gesamtsumme, eine Gruppe oder eine Differenz. Davon hängt ab, durch was Sie teilen: durch alle Anteile, die Anteile einer Gruppe oder die Differenz der Anteile.
3. Berechnen Sie einen Anteil und multiplizieren Sie dann. Fast jede Verhältnisaufgabe besteht aus diesen beiden Schritten.
4. Nutzen Sie die Antwortmöglichkeiten. Bei einer Aufteilung im Verhältnis 5:3 muss der größere Anteil ein Vielfaches von 5 Teilen sein und die Gesamtsumme durch 8 teilbar sein. Antwortmöglichkeiten, die diese Bedingungen nicht erfüllen, können Sie vor dem Rechnen streichen.
5. Prüfen Sie das Ergebnis durch Zurückrechnen. Die Anteile sollten zusammen die Gesamtsumme ergeben. Eine Differenz der Anteile sollte der angegebenen Differenz entsprechen.

Verhältnisse kommen in einem Datensatz oft zusammen mit Prozenten und Durchschnitten vor. Wenn Sie sich auf einen zeitlich begrenzten Zahlenverständnistest vorbereiten, üben Sie den Wechsel zwischen diesen drei Aufgabentypen, bis er Ihnen leichtfällt.