Questions de proportionnalité : méthodes et exemples détaillés

Ce qu’un rapport vous indique

Un rapport de 3:2 entre deux équipes signifie que pour 3 personnes dans la première équipe, il y en a 2 dans la seconde. Le total est de 3 + 2 = 5 parts.

Ces parts permettent de comprendre trois choses différentes, et les tests vérifient que vous ne les confondez pas :

• La part de chaque groupe dans le total : la première équipe représente 3/5 du total (60 %) et la seconde, 2/5 (40 %).
• La comparaison d’un groupe avec l’autre : la première équipe est 3/2 = 1.5 fois plus grande que la seconde.
• La différence : la première équipe compte 1 part de plus que la seconde.

Le piège : interpréter 3:2 comme « le premier groupe représente 3/2 du total » ou « le premier groupe représente 3/5 du second ». Avant de calculer, dites avec des mots quelle comparaison la question demande : une part par rapport à une autre, ou une part par rapport au tout.

L’ordre compte. « Le rapport entre les responsables et le personnel est de 1:6 » place les responsables en premier. Si vous inversez l’ordre, toutes les réponses qui suivent sont fausses, et le rapport inversé est généralement proposé parmi les choix.

Répartir une somme selon un ratio

C’est le type de question de proportion le plus courant dans les tests de recrutement. Suivez toujours ces trois étapes :

1. Additionnez les parts.
2. Divisez le total par le nombre de parts pour trouver la valeur d’une part.
3. Multipliez par le nombre de parts de chaque groupe.

Exemple détaillé : une prime de $4,800 est répartie entre deux équipes selon le ratio 5:3. Quel montant reçoit chaque équipe ?

1. 5 + 3 = 8 parts.
2. $4,800 / 8 = $600 par part.
3. Première équipe : 5 x $600 = $3,000. Deuxième équipe : 3 x $600 = $1,800.

Vérification : $3,000 + $1,800 = $4,800. Additionnez toujours les parts pour vérifier le total : cela ne prend que deux secondes et permet d’éviter la plupart des erreurs.

La même méthode s’applique à trois groupes. Un projet prévoit 360 heures de travail, réparties entre la conception, la réalisation et les tests selon le ratio 2:3:7. Cela représente 12 parts, donc une part vaut 360 / 12 = 30 heures. La conception reçoit 60 heures, la réalisation 90 et les tests 210. Vérification : 60 + 90 + 210 = 360.

Quand vous connaissez une part, mais pas le total

Dans de nombreux problèmes de proportion, on vous donne l'effectif d'un groupe ou l'écart entre deux groupes, puis on vous demande de trouver autre chose. La méthode de la « valeur d'une part » fonctionne toujours ; il suffit de calculer cette part à partir d'un autre nombre.

À partir d'un groupe : sur un site, le rapport entre le nombre de superviseurs et celui des opérateurs est de 2:9, et il y a 54 opérateurs. Combien y a-t-il de superviseurs ?

• 9 parts = 54, donc 1 part = 6.
• Superviseurs = 2 x 6 = 12. Le site compte au total 11 parts = 66 personnes.

À partir de l'écart : deux associés se partagent les bénéfices selon le rapport 7:4, et le premier reçoit $45,000 de plus que le second. Quel est le montant total qu'ils se partagent ?

• L'écart est de 7 - 4 = 3 parts, donc 3 parts = $45,000 et 1 part = $15,000.
• Le total est de 11 parts = $165,000. Les parts sont de $105,000 et $60,000 ; leur écart est de $45,000, ce qui confirme la réponse.

Le piège : diviser l'effectif connu par le nombre total de parts. Dans l'exemple du site, 54 / 11 ne correspond pas à une part ; 54 représente uniquement les 9 parts des opérateurs.

Simplifier et multiplier des ratios

Simplifiez en divisant chaque nombre par le plus grand nombre qui divise tous les termes. 45:60 divisé par 15 donne 3:4. 84:126 divisé par 42 donne 2:3. Si vous ne trouvez pas le plus grand facteur, divisez successivement par de petits facteurs : 84:126, divisé par deux pour obtenir 42:63, puis par 3 pour obtenir 14:21, puis par 7 pour obtenir 2:3.

Décimales et fractions dans un rapport : multipliez chaque terme par le même nombre jusqu’à obtenir des nombres entiers. 1.5:2 devient 3:4 (multiplié par 2). 1/2:1/3 devient 3:2 (multiplié par 6).

Augmenter ou réduire les proportions : une solution de nettoyage est composée selon un rapport de 1:4, concentré contre eau.

• Pour obtenir un volume total donné : 2.5 litres de solution représentent 5 parts, donc 1 part correspond à 0.5 litre : 0.5 litre de concentré et 2 litres d’eau.
• À partir d’un ingrédient : 3 litres de concentré nécessitent 3 x 4 = 12 litres d’eau, soit 15 litres au total.

Le piège quand on ajuste les proportions : ajouter la même quantité aux deux termes. Passer de 1:4 à 2:5 en « ajoutant un à chaque terme » modifie le mélange. Pour ajuster un rapport, multipliez les termes, ne les additionnez jamais.

Combiner et modifier des rapports

Combiner deux rapports qui ont un terme en commun. On vous indique que A:B = 2:3 et B:C = 4:5, puis on vous demande de trouver A:B:C. Les deux valeurs de B (3 et 4) ne correspondent pas. Il faut donc multiplier les deux rapports jusqu'à obtenir la même valeur pour B.

1. Trouvez une valeur commune pour B. Le plus petit nombre divisible à la fois par 3 et par 4 est 12.
2. Multipliez A:B par 4 pour obtenir 8:12, puis B:C par 3 pour obtenir 12:15.
3. Lisez les valeurs dans l'ordre : A:B:C = 8:12:15, donc A:C = 8:15.

Le piège consiste à combiner les rapports sans faire correspondre les valeurs de B, ce qui donne 2:3:5 ou 2:4:5.

Modifier des rapports. Une boîte contient 40 objets rouges et bleus dans le rapport 3:5. Cela représente 15 objets rouges et 25 objets bleus. Si l'on ajoute 5 objets rouges, le nouveau rapport est de 20:25, soit 4:5 après simplification. La méthode est toujours la même : convertissez d'abord le rapport en quantités réelles, appliquez la modification aux quantités, puis exprimez à nouveau le résultat sous forme de rapport. Vous ne pouvez pas ajouter directement des objets à un rapport.

Raisonnement à rebours : combien d'objets rouges faut-il ajouter pour obtenir un rapport de 1:1 ? Le nombre d'objets bleus reste à 25. Il faut donc que le nombre d'objets rouges atteigne 25 : ajoutez-en 10.

Proportions, fractions et pourcentages

Les questions de raisonnement numérique passent souvent d’une forme à une autre au sein d’une même question. Voici les conversions :

• Du ratio à la fraction du total : 3:5 signifie que le premier groupe représente 3/(3 + 5) = 3/8 du total.
• De la fraction au pourcentage : 3/8 = 0.375 = 37.5%.
• Du pourcentage au ratio : si 35% des candidats sont internes, les autres (65%) sont externes. Le ratio entre les candidats internes et externes est donc de 35:65 = 7:13.

Le piège : traiter directement les nombres d’un ratio comme une fraction. Dans une équipe où le ratio femmes-hommes est de 3:5, les femmes représentent 37.5% de l’équipe, et non 3/5 = 60%. Les auteurs des tests proposent 60% parce que c’est la réponse obtenue si vous oubliez l’étape consistant à « additionner les parts ».

Pour en savoir plus sur les conversions en pourcentages, notamment les variations en pourcentage et les pourcentages inversés, consultez notre guide des questions sur les pourcentages.

Proportions et taux à partir de tableaux

Proportionnalité directe : quand une quantité double, l’autre double aussi. 4 imprimantes produisent 600 pages en 10 minutes. Une imprimante en produit donc 150 et 6 imprimantes produisent 6 x 150 = 900 pages dans le même temps. Calculez le taux pour une unité, puis multipliez.

Proportionnalité inverse : plus une quantité augmente, plus l’autre diminue. 6 ouvriers terminent un travail en 8 jours, soit 6 x 8 = 48 journées-ouvrier. Avec 4 ouvriers, il faut 48 / 4 = 12 jours. Le piège consiste à appliquer le rapport dans le mauvais sens : moins d’ouvriers ne peut pas signifier moins de jours.

Calcul des taux à partir de tableaux. De nombreuses questions de raisonnement numérique dissimulent un rapport dans un tableau de données. Par exemple, un tableau présente trois équipes :

• Équipe A : 12 employés, 2 responsables
• Équipe B : 20 employés, 4 responsables
• Équipe C : 21 employés, 3 responsables

« Quelle équipe compte le plus d’employés par responsable ? » Calculez le taux unitaire pour chacune : A est à 6:1, B à 5:1 et C à 7:1. La réponse est donc l’équipe C. Comparer le nombre brut d’employés vous orienterait vers l’équipe B, ce qui est le piège.

La vitesse est aussi un taux. Le même raisonnement s’applique donc à la distance parcourue dans un temps donné. Notre guide sur la vitesse, la distance et le temps traite ce sujet en détail.

Une méthode rapide pour résoudre les questions de rapport sous pression

1. Nommez les parts. Écrivez le ratio avec les noms correspondants, par exemple « S 2 : O 9 », afin de ne pas inverser l’ordre.
2. Notez ce que vous connaissez : un total, un groupe ou une différence. Cela détermine par quoi diviser : le nombre total de parts, le nombre de parts d’un groupe ou la différence entre les parts.
3. Trouvez la valeur d’une part, puis multipliez. Presque toutes les questions de ratio se résolvent en deux étapes.
4. Utilisez les options. Dans une répartition de 5:3, la part la plus grande doit être un multiple de 5 parts et le total doit être divisible par 8. Vous pouvez éliminer les options qui ne respectent pas ces règles avant de calculer.
5. Vérifiez en additionnant les parts. Les parts doivent donner le total ; la différence entre les nombres de parts doit correspondre à la différence indiquée.

Les ratios apparaissent souvent avec les pourcentages et les moyennes dans un même ensemble de données. Si vous préparez un test numérique chronométré, entraînez-vous à passer de l’un à l’autre jusqu’à ce que cela devienne automatique.